Краткий конспект лекций по курсу теория вероятностей для студентов экономико-математических специальностей университетов. Мазепа Е.А. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

0 6 ν
n
(A) 6 1 ν
n
(∅) = 0 ν
n
(Ω) = 1
A ∩ B = ∅ ν
n
(A ∪ B) = ν
n
(A) + ν
n
(B)
n H
ν
n
(A) P(A)
A
P
(A)
A
H
(Ω, F,
P
) Ω H F
H
P
(A) A ∈ F
Ω
H Ω
F , 2
Ω
ω ∈ Ω p(ω) > 0
P
ω∈Ω
p(ω) = 1
p(ω) ω
A ∈ F
P
(A) ,
P
ω∈A
p(ω).
0 6
P
(A) 6 1
P
(Ω) = 1
A ∩ B = ∅
P
(A ∪ B) =
P
(A) +
P
(B)
P
(A
c
) = 1 −
P
(A)
P
(∅) = 0
A ⊂ B
P
(A) 6
P
(B)
P
(B \ A) =
P
(B) −
P
(A)
A =
∞
S
n=1
A
n
A
i
∩ A
j
= ∅ i 6= j
P
(A) =
∞
X
n=1
P
(A
n
).
H
A A
H
P
(A) =
|A|
|Ω|
,
|A| |Ω| A Ω
   1) 0 6 νn (A) 6 1 ; 2) νn (∅) = 0 ; 3) νn (Ω) = 1 ;
   4) åñëè A ∩ B = ∅ , òî νn (A ∪ B) = νn (A) + νn (B) .

   Åñëè ñ íåîãðàíè÷åííûì ðîñòîì ÷èñëà n íåçàâèñèìûõ ïîâòîðåíèé ýêñïåðèìåíòà H ÷à-
ñòîòà νn (A) âñå ìåíüøå è ìåíüøå îòëè÷àåòñÿ îò íåêîòîðîãî ÷èñëà P(A) , òî ãîâîðÿò, ÷òî
÷àñòîòà ñîáûòèÿ A ñòîõàñòè÷åñêè óñòîé÷èâà, à ÷èñëî P(A) ÿâëÿåòñÿ âåðîÿòíîñòüþ
ñîáûòèÿ A . Ýòî ýìïèðè÷åñêîå ïîíÿòèå âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ îòðàæàåò åãî åñòåñòâåííî-
íàó÷íîå ñîäåðæàíèå è, êîíå÷íî, íå ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì îïðåäåëåíèåì.

2.1.4 Âåðîÿòíîñòíàÿ ìîäåëü ñòîõàñòè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà. Êëàññè÷åñêîå
      îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè
Âåðîÿòíîñòíîé ìîäåëüþ ñòîõàñòè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà H íàçûâàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü
òðåõ îáúåêòîâ (Ω, F, P) , ãäå Ω  ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé H , F  êëàññ
íàáëþäàåìûõ â H ñîáûòèé, P(A)  âåðîÿòíîñòè ñîáûòèé A ∈ F .
   Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω ñòîõàñòè÷åñêîãî ýêñïåðè-
ìåíòà H ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íûì èëè ñ÷åòíûì è êàæäîå ïîäìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà Ω ÿâ-
ëÿåòñÿ íàáëþäàåìûì ñîáûòèåì, ò. å. F , 2Ω . Ïóñòü
                                               P êàæäîìó ýëåìåíòàðíîìó ñîáûòèþ
ω ∈ Ω ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîå ÷èñëî p(ω) > 0 è  p(ω) = 1 , ïðè÷åì èìåþòñÿ îñíîâàíèÿ
                                                      ω∈Ω
ñ÷èòàòü, ÷òî ÷èñëà p(ω) ÿâëÿþòñÿ âåðîÿòíîñòÿìè ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ω .
                                                                      P
Îïðåäåëåíèå 2.1.3. Âåðîÿòíîñòüþ ñîáûòèÿ A ∈ F íàçûâàåòñÿ P(A) ,         p(ω).
                                                                        ω∈A

Çàìå÷àíèå 3. Òàê îïðåäåëåííàÿ âåðîÿòíîñòü îáëàäàåò ñâîéñòâàìè:
   1) 0 6 P(A) 6 1 ;      2) P(Ω) = 1 ;
   3) åñëè A ∩ B = ∅ , òî P(A ∪ B) = P(A) + P(B) ;
   4) P(Ac ) = 1 − P(A) ;     5) P(∅) = 0 ;
   6) åñëè A ⊂ B , òî P(A) 6 P(B) , P(B \ A) = P(B) − P(A) ;
                S
                ∞
   7) åñëè A =     An è Ai ∩ Aj = ∅ ïðè i 6= j , òî
                n=1

                                              ∞
                                              X
                                     P(A) =         P(An ).
                                              n=1
   Ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì îïðåäåëåíèÿ 2.1.3.
Îïðåäåëåíèå 2.1.4. Åñëè ñòîõàñòè÷åñêèé ýêñïåðèìåíò H èìååò êîíå÷íîå ÷èñëî ðàâ-
íîâîçìîæíûõ èñõîäîâ, òî âåðîÿòíîñòüþ íàáëþäàåìîãî â ýòîì ýêñïåðèìåíòå ñîáûòèÿ
A íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå ÷èñëà èñõîäîâ, áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ ñîáûòèþ A , ê ÷èñëó âñåõ
èñõîäîâ ýêñïåðèìåíòà H :
                                           |A|
                                   P(A) =      ,
                                           |Ω|
ãäå |A| è |Ω|  ñîîòâåòñòâåííî êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà A è ìíîæåñòâà Ω . Äàííîå
îïðåäåëåíèå íàçûâàþò êëàññè÷åñêèì îïðåäåëåíèåì âåðîÿòíîñòè.




                                              7

Страницы