Краткий конспект лекций по курсу теория вероятностей для студентов экономико-математических специальностей университетов. Мазепа Е.А. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

A B
H A ∩ B = ∅
S
α
A
α
= {ω ∈ Ω|∃α : ω ∈ A
α
}
{A
α
}
T
α
A
α
= {ω ∈ Ω|∀α : ω ∈ A
α
}
{A
α
}
{A
n
}
∞
n=1
{A
n
}
∞
n=1
sup lim
n
A
n
= lim
n
A
n
= {ω ∈ Ω|∀n ∃k > n : ω ∈ A
k
}
{A
n
}
∞
n=1
inf lim
n
A
n
= lim
n
A
n
= {ω ∈ Ω|∃n ∀k > n : ω ∈ A
k
}
{A
n
}
∞
n=1
A
n+1
⊂ A
n
n = 1, 2, . . . A =
lim
n
A
n
= {ω ∈ Ω|∀n : ω ∈ A
n
}
{A
n
}
∞
n=1
A
n
⊂ A
n+1
n = 1, 2, . . . A = lim
n
A
n
=
{ω ∈ Ω|∃n : ω ∈ A
n
}
{A
n
}
∞
n=1
sup lim
n
A
n
=
∞
T
n=1
∞
S
k=n
inf lim
n
A
n
=
∞
S
n=1
∞
T
k=n
A
k+1
⊂ A
k
k = 1, 2, . . . lim
n
A
n
=
∞
T
n=1
A
n
A
k
⊂ A
k+1
k = 1, 2, . . . lim
n
A
n
=
∞
S
n=1
A
n
A n
H ν
n
(A) ,
k
n
(A)
n
k
n
(A)
A
Ñîáûòèÿ A è B íàçûâàþòñÿ íåñîâìåñòíûìè ñîáûòèÿìè â ñòîõàñòè÷åñêîì ýêñïåðèìåíòå
H , åñëè A ∩ B = ∅ .

Çàìå÷àíèå 1. Îïåðàöèè ñóììû è ïðîèçâåäåíèÿ ñîáûòèé ìîæíî îïðåäåëèòü äëÿ ëþáîãî
êîíå÷íîãî
   S      èëè áåñêîíå÷íîãî ñåìåéñòâà ñîáûòèé:
     Aα = {ω ∈ Ω|∃α : ω ∈ Aα }  ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî ïðîèçîøëî õîòÿ áû
     α
îäíîTñîáûòèå èç ñåìåéñòâà {Aα } ;
     Aα = {ω ∈ Ω|∀α : ω ∈ Aα }  ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî ïðîèçîøëè âñå ñîáûòèÿ
     α
èç ñåìåéñòâà {Aα } îäíîâðåìåííî.
   Îïåðàöèè íàä ñîáûòèÿìè îáëàäàþò òåìè æå ñâîéñòâàìè, ÷òî è îïåðàöèè íàä ìíîæå-
ñòâàìè, â ÷àñòíîñòè, äëÿ ñóììû è ïðîèçâåäåíèÿ ñîáûòèé âûïîëíÿþòñÿ ñâîéñòâà êîììó-
òàòèâíîñòè, àññîöèàòèâíîñòè è äèñòðèáóòèâíîñòè îïåðàöèé.

2.1.2 Âåðõíèé è íèæíèé ïðåäåëû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñîáûòèé. Ïðåäåë ïî-
      ñëåäîâàòåëüíîñòè ñîáûòèé
                                             n=1 . Îïðåäåëèì ïîíÿòèÿ âåðõíåãî è íèæ-
Ïóñòü èìååòñÿ ñ÷åòíîå ñåìåéñòâî ñîáûòèé {An }∞
íåãî ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñîáûòèé {An }∞n=1 :
   sup lim An = limAn = {ω ∈ Ω|∀n ∃k > n : ω ∈ Ak }  ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî
             n       n
îäíîâðåìåííî ïðîèñõîäèò áåñêîíå÷íî ìíîãî ñîáûòèé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {An }∞
                                                                         n=1 ;
   inf lim An = limAn = {ω ∈ Ω|∃n ∀k > n : ω ∈ Ak }  ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî
         n          n
îäíîâðåìåííî íå ïðîèñõîäèò ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî ñîáûòèé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {An }∞      n=1 .
    Åñëè äîïîëíèòåëüíî An+1 ⊂ An äëÿ ëþáîãî n = 1, 2, . . . , òî ñóùåñòâóåò ñîáûòèå A =
lim An = {ω ∈ Ω| ∀n : ω ∈ An } , ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî îäíîâðåìåííî ïðîèñõîäÿò âñå ñîáûòèÿ
 n
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {An }∞
                        n=1 .
   Åñëè An ⊂ An+1 äëÿ ëþáîãî n = 1, 2, . . . , òî òàêæå ñóùåñòâóåò ñîáûòèå A = lim An =
                                                                                       n
{ω ∈ Ω| ∃n : ω ∈ An } , ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî ïðîèñõîäèò õîòÿ áû îäíî ñîáûòèå ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòè {An }∞n=1 .
   Ëåãêî ïðîâåðèòü âûïîëíåíèå ñëåäóþùèõ ðàâåíñòâ:
                T
                ∞ S  ∞
1) sup lim An =        ;
         n        n=1 k=n
                  S
                  ∞ T
                    ∞
2) inf lim An =             ;
         n        n=1 k=n
                                                               T
                                                               ∞
3) åñëè Ak+1 ⊂ Ak äëÿ ëþáîãî k = 1, 2, . . . , òî lim An =           An ;
                                                  n            n=1
                                                                S
                                                                ∞
4) åñëè Ak ⊂ Ak+1 äëÿ ëþáîãî k = 1, 2, . . . , òî lim An =           An .
                                                  n            n=1


2.1.3 ×àñòîòà ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ. Èíòóèòèâíûå ïðåäñòàâëåíèÿ î âåðîÿòíîñò-
      íîé ìîäåëè ñòîõàñòè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà è î âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ
Îïðåäåëåíèå 2.1.2. ×àñòîòîé íàáëþäàåìîãî ñîáûòèÿ A â ñåðèè n íåçàâèñèìûõ ïî-
                                                   kn (A)
âòîðåíèé ýêñïåðèìåíòà H íàçûâàåòñÿ νn (A) ,          n
                                                          ,   ãäå kn (A)  êîëè÷åñòâî ïîÿâëåíèé
ñîáûòèÿ A .
Çàìå÷àíèå 2. ×àñòîòà íàáëþäàåìîãî ñîáûòèÿ îáëàäàåò ñâîéñòâàìè:

                                              6

Страницы