Краткий конспект лекций по курсу теория вероятностей для студентов экономико-математических специальностей университетов. Мазепа Е.А. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

k m
1
m
2
k m
k
k m
1
· m
2
· . . . · m
k
n n
k
k
{1, 2, . . . , k}
k n
(k 6 n) n k
A
k
n
n k
n n
B B
P
n
n
k n
(k 6 n) n k
C
k
n
n k
A
k
n
= n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1) =
n!
(n−k)!
P
n
= n!
C
k
n
=
n!
(n−k)!k!
=
n(n−1)...(n−k+1)
k!
.
F Ω σ
F
Ω ∈ F
A ∈ F A
c
= Ω \ A ∈ F
(A
n
)
n∈N
∈ F
∞
S
n=1
A
n
∈ F
F σ Ω (Ω, F)
σ
∅ ∈ F
(A
j
)
j∈N
∈ F
n
S
j=1
A
j
∈ F,
n
T
j=1
A
j
∈ F,
∞
T
j=1
A
j
∈ F
(A
n
)
n∈N
∈ F sup lim
n
A
n
∈ F inf lim
n
A
n
∈ F
E Ω
2.1.5 Ýëåìåíòû êîìáèíàòîðèêè
Îñíîâíîé ïðèíöèï êîìáèíàòîðèêè (ïðàâèëî óìíîæåíèÿ). Ïóñòü íåîáõîäèìî ïî-
ñëåäîâàòåëüíî âûïîëíèòü k äåéñòâèé. Åñëè ïåðâîå äåéñòâèå ìîæíî âûïîëíèòü m1 ñïîñî-
áàìè, âòîðîå  m2 ñïîñîáàìè è òàê äàëåå äî k -ãî äåéñòâèÿ, êîòîðîå ìîæíî âûïîëíèòü mk
ñïîñîáàìè, òî âñå k äåéñòâèé âìåñòå ìîãóò áûòü âûïîëíåíû m1 · m2 · . . . · mk ñïîñîáàìè.
Îïðåäåëåíèå 2.1.5. Ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå n ýëåìåíòîâ, íàçûâàåòñÿ n -ýëåìåíòíûì
ìíîæåñòâîì. k -ýëåìåíòíûì óïîðÿäî÷åííûì ìîæåñòâîì íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîäåð-
æàùåå k ýëåìåíòîâ, êàæäîìó èç êîòîðûõ ïîñòàâëåíî â ñîîòâåòñòâèå íåêîòîðîå ÷èñëî èç
ìíîæåñòâà {1, 2, . . . , k} (ò.å. íîìåð ýëåìåíòà) òàê, ÷òî ðàçëè÷íûì ýëåìåíòàì ñîîòâåòñòâó-
þò ðàçëè÷íûå ÷èñëà.
Îïðåäåëåíèå 2.1.6. k -ýëåìåíòíîå óïîðÿäî÷åííîå ïîäìíîæåñòâî n -ýëåìåíòíîãî ìíîæå-
ñòâà (k 6 n) íàçûâàåòñÿ ðàçìåùåíèåì èç n ïî k .
    Akn îáîçíà÷àåò ÷èñëî âñåõ ðàçìåùåíèé èç n ïî k .
Îïðåäåëåíèå 2.1.7. n -ýëåìåíòíîå óïîðÿäî÷åííîå ìîæåñòâî ñîñòîÿùåå èç ýëåìåíòîâ n -
ýëåìåíòíîãî ìíîæåñòâà B , íàçûâàåòñÿ ïåðåñòàíîâêîé ìíîæåñòâà B .
    Pn îáîçíà÷àåò ÷èñëî ïåðåñòàíîâîê n -ýëåìåíòíîãî ìíîæåñòâà.
Îïðåäåëåíèå 2.1.8. k -ýëåìåíòíîå ïîäìíîæåñòâî (íåóïîðÿäî÷åííîå) n -ýëåìåíòíîãî ìíî-
æåñòâà (k 6 n) íàçûâàåòñÿ ñî÷åòàíèåì èç n ïî k .
    Cnk îáîçíà÷àåò ÷èñëî âñåõ ñî÷åòàíèé èç n ïî k .

Òåîðåìà 2.1.1.
                                                 n!
1) Akn = n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1) =   (n−k)!
                                                      .
2) Pn = n! .
             n!
3) Cnk = (n−k)!k! = n(n−1)...(n−k+1)
                               k!
                                      .

2.1.6 Âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî. Àêñèîìàòèêà À.Í. Êîëìîãîðîâà. Ñâîéñòâà
      âåðîÿòíîñòè. Òåîðåìà î íåïðåðûâíîñòè âåðîÿòíîñòè
Îïðåäåëåíèå 2.1.9. Êëàññ F ïîäìíîæåñòâ ïðîñòðàíñòâà Ω íàçûâàåòñÿ σ -àëãåáðîé, åñëè
F óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì:
1) Ω ∈ F ;
2) åñëè A ∈ F , òî Ac = Ω \ A ∈ F ;
                          S
                          ∞
3) åñëè (An )n∈N ∈ F , òî   An ∈ F .
                             n=1
   Åñëè F  σ -àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ ïðîñòðàíñòâà Ω , òî (Ω, F) íàçûâàåòñÿ èçìåðèìûì
ïðîñòðàíñòâîì.
Çàìå÷àíèå 4. Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ σ -àëãåáðû âûòåêàþò ñëåäóþùèå ñâîé-
ñòâà:
1) ∅ ∈ F ;
                             S
                             n                 T
                                               n               T
                                                               ∞
2) åñëè (Aj )j∈N ∈ F , òî          Aj ∈ F,           Aj ∈ F,         Aj ∈ F ;
                             j=1               j=1             j=1
3) åñëè (An )n∈N ∈ F , òî sup lim An ∈ F , inf lim An ∈ F .
                                    n                     n
Îïðåäåëåíèå 2.1.10. Ïóñòü E  íåêîòîðûé êëàññ ïîäìíîæåñòâ ïðîñòðàíñòâà Ω . Ìè-

                                                          8

Страницы