Гидродинамика. Мазо А.Б - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

- 100 -
Итак, с точностью до слагаемых порядка
2
()O
ε
x-уравнение
движения (10.4) в пограничном слое принимает вид
2
2
UUUPU
Uv
XyxY
τ
∂∂∂∂∂
++=−+
∂∂∂∂∂
. (10.7)
Преобразуем теперь второе уравнение импульсов.
222
2
22
2222
/
.
ee e
e
ee e
uu u
VVV
Uv
lu l X Y
uu u
p
VV
ylX Y
εε ε
τδ
νε νε
δδ
∂∂∂
++=
∂∂ ∂
∂∂ ∂
=− + +
∂∂ ∂
Поделим это уравнение на
2
/
e
u
δ
. Будем иметь
22 2
22 2
22
22 22
24 2 2
22 2 2 2
1
Re Re
1
.
Re
VVVpVV
UV
XYyX Y
p
VVp VV
yYXyYX
ε
εε ε
τ
εε ε ε
ε
∂∂∂∂∂∂
++=−++=
∂∂∂∂∂ ∂
⎛⎞⎛⎞
∂∂∂∂∂∂
=− + + =− + +
⎜⎟⎜⎟
∂∂∂∂∂∂
⎝⎠⎝⎠
Таким образом, из второго уравнения движения следует, что с точностью
до величин порядка
2
()O
ε
получаем
/0
p
y
∂
∂=
. (10.8)
Это значит, что давление поперек пограничного слоя не меняется и равно
давлению во внешнем потоке, где
p
подчиняется уравнению Бернулли
(10.5). Это позволяет исключить давление из рассмотрения и записать
уравнения плоского пограничного слоя
2
2
,
0
e
e
U
UUU U
UV U
XY XY
UV
XY
τ
∂
∂∂∂ ∂
++= +
∂∂∂ ∂∂
∂∂
+=
∂∂
(10.9)
в которых только две неизвестных: компоненты безразмерной скорости U
и V , а скорость внешнего потока () 1
e
Ux∼ задана.
Тепловой пограничный слой
Уравнение теплового пограничного слоя получается из уравнения
энергии 
      Итак, с точностью до слагаемых порядка O (ε 2 ) x-уравнение
движения (10.4) в пограничном слое принимает вид
                       ∂U    ∂U    ∂U    ∂P ∂ 2U
                          +U    +v    =−   +     .                 (10.7)
                       ∂τ    ∂X    ∂y    ∂x ∂Y 2
      Преобразуем теперь второе уравнение импульсов.
                       ε ue ∂V ε ue2 ∂V ε 2ue2 ∂V
                                +   U    +    v    =
                      l / ue ∂τ   l   ∂X   δ    ∂Y
                           ue2 ∂p νε ue ∂ 2V νε ue ∂ 2V
                      =−         + 2        + 2         .
                           δ ∂y    l ∂X 2     δ ∂Y 2
      Поделим это уравнение на ue2 / δ . Будем иметь

            ∂V      ∂V      ∂V   ∂p ε 2 ∂ 2V   1 ∂ 2V
          ε2
               +ε U
                 2
                       +ε V
                         2
                               =− +          +        =
            ∂τ      ∂X      ∂Y   ∂y Re ∂X 2 Re ∂Y 2
            ∂p  1 ⎛ 2 ∂ 2V      4 ∂ V ⎞
                                   2
                                            ∂p 2⎛ ∂ V
                                                   2
                                                       2 ∂ V ⎞
                                                          2
          =− +        ⎜ε     +ε        ⎟ = − +ε ⎜ 2 +ε        ⎟.
            ∂y Re ε 2 ⎝ ∂Y 2      ∂X 2 ⎠    ∂y  ⎝ ∂Y     ∂X 2 ⎠
Таким образом, из второго уравнения движения следует, что с точностью
до величин порядка O (ε 2 ) получаем
                                   ∂p / ∂y = 0 .                   (10.8)
Это значит, что давление поперек пограничного слоя не меняется и равно
давлению во внешнем потоке, где p подчиняется уравнению Бернулли
(10.5). Это позволяет исключить давление из рассмотрения и записать
уравнения плоского пограничного слоя
                     ∂U    ∂U    ∂U      ∂U e ∂ 2U
                        +U    +V    = Ue     +     ,
                     ∂τ    ∂X    ∂Y      ∂X ∂Y 2                   (10.9)
                     ∂U ∂V
                        +   =0
                     ∂X ∂Y
в которых только две неизвестных: компоненты безразмерной скорости U
и V , а скорость внешнего потока U e ( x ) ∼ 1 задана.


Тепловой пограничный слой
     Уравнение теплового пограничного слоя получается из уравнения
энергии

- 100 -

Страницы