Гидродинамика. Мазо А.Б - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

- 13 -
дифференцирования
d
dx
, действуя на функцию ()
f
x дает новую функцию
– ее производную () ()gx f x
′
= .
Пример 1.
()
sin
f
xx
=
. sin cos
d
x
x
dx
= .
Пример 2
. Оператор Лапласа
222
222
L
x
yz
∂
∂∂
=++
∂
∂∂
. Пусть
32
(, ,) 1 2 2.5 .
y
f
xyz x e z=+ + − Тогда
222
222
65
y
fff
Lf x e
xyz
∂∂∂
=++=+−
∂∂∂
.
Оператор может применяться к функциям как одной, так и
нескольких переменных.
Например, оператор набла
)
∇
в декартовой системе трех координат
можно представить как вектор, компонентами которого являются
операторы дифференцирования по координатам,
,,
x
yz
⎛⎞
∂
∂∂
∇=
⎜⎟
∂
∂∂
⎝⎠
.
Если функция f(x,y,z) - скалярная, то применяя этот оператор, получаем
вектор
,,
f
ff
f
x
yz
⎛⎞
∂
∂∂
∇=
⎜⎟
∂
∂∂
⎝⎠
.
Градиентом скалярной функции
f
называется вектор
grad
f
ff
f
fi jk
x
yz
∂
∂∂
∇= = + +
∂
∂∂
Вектор-градиент в произвольной точке направлен в сторону
наискорейшего роста функции.
Если оператор набла применяется к вектору, то результат равен
скалярному произведению оператора-вектора
∇
на вектор
()
,,
x
yz
vvvv=
:
div
y
xz
v
vv
vv v
xyz
∂
∂∂
∇=∇⋅= + + =
∂∂∂
 
                              d
дифференцирования                , действуя на функцию f ( x ) дает новую функцию
                              dx
– ее производную g ( x ) = f ′( x ) .
                                   d
Пример 1. f ( x ) = sin x .           sin x = cos x .
                                   dx
                                                      ∂2  ∂2  ∂2
Пример 2.          Оператор            Лапласа      L= 2 + 2 + 2.          Пусть
                                                      ∂x  ∂y  ∂z
f ( x, y , z ) = 1 + 2 x 3 + e y − 2.5z 2 .                                Тогда
    ∂2 f ∂2 f ∂2 f
Lf = 2 + 2 + 2 = 6 x + e y − 5 .
    ∂x   ∂y   ∂z
     Оператор может применяться к функциям как одной, так и
нескольких переменных.
     Например, оператор набла ( ∇ ) в декартовой системе трех координат
можно представить как вектор, компонентами которого являются
операторы дифференцирования по координатам,
                                          ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞
                                      ∇ = ⎜ , , ⎟.
                                          ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
Если функция f(x,y,z) - скалярная, то применяя этот оператор, получаем
вектор
                                         ⎛ ∂f ∂f ∂f ⎞
                                    ∇f = ⎜ , , ⎟ .
                                         ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
Градиентом скалярной функции f называется вектор
                                                 ∂f     ∂f   ∂f
                               ∇f = grad f =        i +    j+ k
                                                 ∂x     ∂y   ∂z
Вектор-градиент           в     произвольной      точке   направлен   в   сторону
наискорейшего роста функции.
Если оператор набла применяется к вектору, то результат равен

                                                                      (
скалярному произведению оператора-вектора ∇ на вектор v = v x , v y , v z :   )
                                          ∂v x ∂v y ∂v z
                        ∇v = ∇ ⋅ v =          +    +     = div v
                                          ∂x    ∂y   ∂z


                                                                            - 13 -

Страницы