Гидродинамика. Мазо А.Б - 15 стр.

функций. Так, скаляр – это тензор нулевого ранга, а вектор – это тензор
первого ранга. Оказывается, не все свойства сплошной среды можно
описать с помощью этих простейших тензоров; в частности широко
используются тензоры второго ранга с двухиндексными компонентами
σ ij , каждая из которых является, вообще говоря, скалярной функцией
точки пространства. В трехмерном пространстве индексы i, j изменяются
от 1 до 3, так что тензор второго ранга T содержит 9 компонент. Эти
компоненты удобно представить в виде матрицы

                  ⎛ σ 11 σ 12 σ 13 ⎞ ⎛ σ xx        σ xy σ xz ⎞
                                       ⎜                      ⎟
              T = ⎜ σ 21 σ 22 σ 23 ⎟ = ⎜ σ yx      σ yy σ yz ⎟
                  ⎜                ⎟
                  ⎜σ               ⎟
                  ⎝ 31 σ 32 σ 33 ⎠ ⎜⎝ σ zx         σ zy σ zz ⎟⎠
    Математические действия с тензорами производятся по тем же
правилам, что и с матрицами. Среди тензорных операций, помимо
тривиальных операций сложения тензоров и умножения тензора на число,
выделим операции умножения тензора второго ранга на вектор
                                           3
                          v = Tu ;   vi = ∑ Tij u j ,
                                          j =1
результатом которого является новый вектор, и произведение тензоров
                                           3
                        C = AB, Cij = ∑ Aik Bkj ,
                                         k =1
результатом которого является новый тензор. По существу, в этом
определении выражается главное математическое свойство тензора: его
действие на инвариантный объект приводит к инвариантному объекту.
Это свойство позволяет сформулировать общие уравнения гидромеханики
в универсальном тензорном виде, справедливом в любой системе
координат.
    Механический смысл тензора
    Первоначально тензор был введен для описания внутренних
напряжений в жидкости. В произвольной точке x, y , z жидкости мысленно
выбирается бесконечно малый (элементарный) объем dV = dx dy dx и

                                                                  - 15 -