Гидродинамика. Мазо А.Б - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

- 19 -
координатах останется неподвижным. Выберем некоторое свойство
f
среды и проинтегрируем его по элементарному лагранжеву объему
L
V .
Будем изучать его изменение во времени. Справедлива формула
LE
n
VV S
f
f
dL d
ff
vdS
tt
∂∂
=+
∂∂
∫∫ ∫
, (2.1)
которая связывает изменение свойств в объемах Лагранжа и Эйлера. Здесь
n
v
- скорость потока по нормали к поверхности
S
объема
E
V
. Второе
слагаемое в правой части равенства (2.1) выражает поток
f
через границу
эйлерова объема, а первый член характеризует изменение изучаемого
свойства внутри
E
V .
В математическом смысле формула (2.1) связывает интегрирование
по объему и интегрирование по поверхности. Еще одной важной
формулой, которая устанавливает связь между потоком вектора через
замкнутую поверхность и его дивергенцию в объеме, является теорема
Остроградского- Гаусса:
div
n
SV
vdS vdV=
∫∫
(2.2)
Задачи к лекции 2
Задача 2.1. В ортогональной декартовой системе координат
определить:
а) единичный вектор, параллельный вектору v
с компонентами
(
)
2;3; 6
−
;
б) единичный вектор прямой, соединяющей точки
(
)
1; 0; 3P и
(
)
0; 2;1Q .
Задача 2.2
. Для векторов
(
)
3; 0; 4a
,
(
)
0; 2; 6b
=
−
и тензора
302
040
050
D
⇒
⎛⎞
⎜⎟
=−
⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠
вычислить произведения aD
⇒
⋅
, Db
⇒
⋅
и aDb
⇒
⋅⋅
.
Задача 2.3
. Для заданного поля скоростей сплошной среды
2
,3,0
xy z
vxv yv
=
=− = 
координатах останется неподвижным. Выберем некоторое свойство f
среды и проинтегрируем его по элементарному лагранжеву объему VL .
Будем изучать его изменение во времени. Справедлива формула
                       ∂             ∂f
                          ∫
                       ∂t V
                            f dL = ∫
                                     ∂t
                                        df + ∫ f vn dS ,                  (2.1)
                          L       V   E      S
которая связывает изменение свойств в объемах Лагранжа и Эйлера. Здесь
vn - скорость потока по нормали к поверхности S объема VE . Второе
слагаемое в правой части равенства (2.1) выражает поток f через границу
эйлерова объема, а первый член характеризует изменение изучаемого
свойства внутри VE .
    В математическом смысле формула (2.1) связывает интегрирование
по объему и интегрирование по поверхности. Еще одной важной
формулой, которая устанавливает связь между потоком вектора через
замкнутую поверхность и его дивергенцию в объеме, является теорема
Остроградского- Гаусса:

                              ∫ vn dS = ∫ div v dV                        (2.2)
                              S           V

Задачи к лекции 2

     Задача 2.1. В ортогональной декартовой системе координат
определить:
а) единичный вектор, параллельный вектору v с компонентами ( 2;3; − 6 ) ;

б) единичный вектор прямой, соединяющей точки P (1;0;3) и Q ( 0;2;1) .

     Задача 2.2. Для векторов a = ( 3;0;4 ) , b = ( 0;2; − 6 ) и тензора

      ⇒
          ⎛ 3 0 2⎞                              ⇒   ⇒           ⇒
      D = ⎜ 0 −4 0 ⎟ вычислить произведения a ⋅ D , D ⋅ b и a ⋅ D ⋅ b .
          ⎜        ⎟
          ⎜ 0 −5 0 ⎟
          ⎝        ⎠
     Задача 2.3. Для заданного поля скоростей сплошной среды
                              v x = x 2 , v y = −3 y , v z = 0


                                                                      - 19 -

Страницы