Гидродинамика. Мазо А.Б - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

- 21 -
Лекция 3.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ
Уравнение неразрывности
(закон сохранения массы)
В жидкости выделяем объем V. Первоначально это может быть
кубик, а затем, по мере движения жидкости, он деформируется. В любой
момент времени этот объем содержит одни и те же материальные
частицы. В нем находится вещество, которое обладает плотностью
ρ
.
Тогда масса вещества вычисляется по формуле
L
V
mdV
ρ
=
∫
, кг. (3.1)
Закон сохранения массы выражается формулой
0
m
t
∂
=
∂
. (3.2)
Подставим (3.1) в (3.2) и обратимся к формуле (2.1), которая
выражает производную от деформируемого объема. Получим
0
LE
n
VV S
dV dV v dS
tt
ρ
ρρ
∂∂
=
+=
∂∂
∫∫ ∫
. (3.3)
Перепишем (3.3) с учетом теоремы Остроградского-Гаусса (2.2) и
получим
()
div 0
LE E
VV V
dV dV v dV
tt
ρ
ρρ
∂∂
=+ =
∂∂
∫∫ ∫
(3.4)
Т.к. объем V
E
выбран произвольно, и интеграл от некоторой величины по
этому объему равен нулю, то, следовательно, сама эта величина
тождественно равна нулю. Поэтому из (3.4) следует
()
div 0v
t
ρ
ρ
∂
+
=
∂
. (3.5)
Это и есть уравнение неразрывности. 
                       Лекция 3.
          ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ

  Уравнение неразрывности (закон сохранения массы)
    В жидкости выделяем объем V. Первоначально это может быть
кубик, а затем, по мере движения жидкости, он деформируется. В любой
момент времени этот объем содержит одни и те же материальные
частицы. В нем находится вещество, которое обладает плотностью ρ .
Тогда масса вещества вычисляется по формуле

                             m=      ∫ ρ dV ,   кг.             (3.1)
                                     VL
    Закон сохранения массы выражается формулой
                                     ∂m
                                        = 0.                    (3.2)
                                     ∂t
    Подставим (3.1) в (3.2) и обратимся к формуле (2.1), которая
выражает производную от деформируемого объема. Получим
                   ∂              ∂ρ
                   ∂t V∫ ρ dV = ∫
                                  ∂t
                                     dV + ∫ ρ vn dS = 0 .       (3.3)
                       L       V E        S

Перепишем (3.3) с учетом теоремы Остроградского-Гаусса (2.2) и
получим
                ∂              ∂ρ
                    ∫ ρ dV = ∫    dV + ∫ div ( ρ v ) dV = 0     (3.4)
                ∂t V        V
                               ∂t     V
                   L         E              E


Т.к. объем VE выбран произвольно, и интеграл от некоторой величины по
этому объему равен нулю, то, следовательно, сама эта величина
тождественно равна нулю. Поэтому из (3.4) следует
                            ∂ρ
                               + div ( ρ v ) = 0 .              (3.5)
                            ∂t
Это и есть уравнение неразрывности.




                                                                - 21 -

Страницы