Гидродинамика. Мазо А.Б - 22 стр.

     Варианты уравнения (3.5) таковы: если жидкость несжимаема, то ее
плотность постоянна, ρ=const, следовательно, ∂ρ / ∂t = 0 и ρ можно
вынести из-под оператора дивергенции и сократить. Получим
                                                       ∂ui
                              div v = 0, или               =0                                         (3.6)
                                                       ∂xi
Здесь     применено      соглашение               Эйнштейна                  о     суммировании         по
повторяющимся индексам. В раскрытой форме это означает
                   ∂u1       ∂u2       ∂u3             ∂u x         ∂u y          ∂uz
                         +         +         = 0 или            +            +          = 0.
                   ∂x1       ∂x2       ∂x3             ∂x               ∂y        ∂z

   Субстанциональная           производная             (полная                   или     индивидуальная
   производная).
     Пусть f ( x, y , z, t ) – скалярная функция, описывающая некоторое
свойство     жидкости.        Тогда          ее     субстанциональная                          производная
определяется равенством
                    df ∂f      ∂f   ∂f
                      =
                    dt ∂t
                          + ui    =
                               ∂xi ∂t
                                       + v ⋅∇ f             (            )                            (3.7)

     Субстанциональная производная выражает изменение                                              свойств
материальной точки по Лагранжу, т.е. в фиксированной материальной
точке среды (ξ1, ξ2, ξ3) = const. При этом сама точка перемещается. Первое
слагаемое справа выражает частную производную по времени, т.е.
изменение свойства f в фиксированной точке пространства x, y , z - по
Эйлеру. Последнее слагаемое означает конвективную производную,
которая    описывает      изменение               свойств           в        фиксированной           точке
пространства из-за того, что через эту точку протекает сплошная среда со
скоростью v . Конвективная производная равна нулю в случае, когда либо
v=0 (нет течения), либо когда функция f не зависит от координат.
     Для описания течения сплошной среды, т.е. ее гидродинамики, нам
надо знать скорость (3 компоненты), плотность, давление и температуру.
Итого, 6 неизвестных скалярных функций. Замкнутая система уравнений
гидродинамики должна содержать столько же уравнений, сколько и

- 22 -