Гидродинамика. Мазо А.Б - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

- 24 -
(
)
(
)
div grad div( )
xxx
VV V
v v dV v v dV v v dV
ρρ ρ
=⋅ +
∫∫ ∫

,
а интеграл с производной по времени преобразуется следующим образом:
xx
x
VV
vv
dV v dV
ttt
ρ
ρ
ρ
∂∂
∂
⎛⎞
=+
⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠
∫∫
.
Таким образом, в левой части уравнения (3.8) получаем
()
grad div( )
div( ) grad
x
xxx
V
x
xx
V
v
vvvvvdV
tt
v
vvvvdV
tt
ρ
ρρ ρ
ρ
ρρ
∂
∂
⎛⎞
++⋅ + =
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
∂
∂
⎡⎤
⎛⎞
⎛⎞
=+++⋅
⎜⎟
⎜⎟
⎢⎥
∂∂
⎝⎠
⎝⎠
⎣⎦
∫
∫

Но первый член представляет собой уравнение неразрывности (3.5), и
поэтому равен нулю. Окончательно в левой части (8) получаем интеграл
grad
x
x
V
v
vvdV
t
ρ
∂
⎛⎞
+⋅
⎜⎟
∂
⎝⎠
∫
. (3.9)
Вычислим теперь правую часть, а точнее, интеграл по поверхности
S
элементарного объема
V (см. рис. 2.2).
6
1
i
xx
i
SS
p
dS p dS
=
=
∑
∫∫
. (3.10)
Действие вектора напряжений
P
на элементарную площадку с нормалью
n
определяется как вектор
Pn

. Компонента i этого вектора равна
()
3
1
iijjijj
i
j
PPn pnpn
=
== ≡
∑

.
Здесь
ij
- компоненты тензора полных напряжений, а cos( , )
j
nnj= -
косинус между нормалью к площадке и осью
j
. В частности, для
компоненты
x
на каждой площадке имеем
x
xx x xy y xz z
Ppnpn pn=++.
Рассмотрим входящие в (3.10)
x
-составляющие поверхностных сил,
действующие на разные грани (их 6 штук) выделенного объема. Для этого 
          ∫ div ( ρ vx v ) dV = ∫ ρ v ⋅ grad ( vx ) dV + ∫ vx div( ρ v ) dV ,
          V                          V                       V

а интеграл с производной по времени преобразуется следующим образом:
                         ∂ρ v x         ⎛ ∂ρ       ∂ vx ⎞
                       ∫ ∂t     dV = ∫ ⎜⎝ x ∂t
                                         v     + ρ
                                                    ∂t
                                                        ⎟ dV .
                                                        ⎠
                       V             V

Таким образом, в левой части уравнения (3.8) получаем
                 ⎛ ∂ρ       ∂ vx                                       ⎞
              ∫ ⎜⎝ x ∂t
                  v     + ρ      + ρ v ⋅ grad ( v x ) + v x div( ρ v ) ⎟ dV =
              V
                             ∂t                                        ⎠
                  ⎡ ⎛ ∂ρ                ⎞     ⎛∂v                ⎞⎤
              = ∫ ⎢vx ⎜    + div( ρ v ) ⎟ + ρ ⎜ x + v ⋅ grad v x ⎟ ⎥ dV
                V⎣    ⎝ ∂t              ⎠     ⎝ ∂t               ⎠⎦
Но первый член представляет собой уравнение неразрывности (3.5), и
поэтому равен нулю. Окончательно в левой части (8) получаем интеграл
                                 ⎛ ∂ vx                ⎞
                             ∫ ρ ⎜⎝ ∂t
                                        + v ⋅ grad v x ⎟ dV .
                                                       ⎠
                                                                                 (3.9)
                             V

Вычислим теперь правую часть, а точнее, интеграл по поверхности S
элементарного объема V (см. рис. 2.2).
                                               6

                                 ∫ px dS = ∑
                                           i =1
                                                ∫ p x dS .                      (3.10)
                                 S                  Si


Действие вектора напряжений P на элементарную площадку с нормалью
n определяется как вектор Pn . Компонента i этого вектора равна
                                             3
                                 ( )i
                            Pi = Pn = ∑ pij n j ≡ pij n j .
                                             j =1

Здесь pij - компоненты тензора полных напряжений, а n j = cos( n, j ) -

косинус между нормалью к площадке и осью j . В частности, для
компоненты p x на каждой площадке имеем
                             Px = p xx n x + p xy n y + p xz nz .

Рассмотрим входящие в (3.10) x -составляющие поверхностных сил,
действующие на разные грани (их 6 штук) выделенного объема. Для этого


- 24 -

Страницы