Гидродинамика. Мазо А.Б - 26 стр.

          ⎛ ∂ vx                ⎞           ( − p + σ xx ) x + dx − ( − p + σ xx ) x
         ρ⎜      + v ⋅ grad v x ⎟ = ρ g x +                                          +
          ⎝ ∂t                  ⎠                              dx
                                 (σ xz ) y + dy − (σ xz ) y       (σ xy ) z + dz − (σ xy ) z
                             +                                +                                .
                                            dy                               dz
Нетрудно видеть, что в пределе при dx, dy , dz → 0 справа записаны
частные производные по координатам. Окончательно получаем уравнение
импульса в направлении x в виде
          ∂ vx                    1 ∂p 1 ⎧ ∂σ xx ∂σ xy ∂σ xz ⎫
               + v ⋅ grad v x = −     + ⎨       +     +      ⎬ + gx                                 (3.12)
           ∂t                     ρ ∂x ρ ⎩ ∂x     ∂y    ∂z ⎭

     Уравнения импульсов в направлении y и z аналогичны:
         ∂ vy                    1 ∂p 1 ⎧ ∂σ yx ∂σ yy ∂σ yz ⎫
                + v ⋅ grad v y = −   + ⎨        +      +     ⎬ + gy,
          ∂t                     ρ ∂y ρ ⎩ ∂x       ∂y     ∂z ⎭
                                                                                                    (3.13)
         ∂ vz                    1 ∂p 1 ⎧ ∂σ zx ∂σ zy ∂σ zz ⎫
              + v ⋅ grad v z = −     + ⎨       +      +     ⎬ + gz
          ∂t                     ρ ∂z ρ ⎩ ∂x      ∂y     ∂z ⎭
     Уравнения движения (3.11) – (3.13) удобно записывать в индексной
форме
                dvi ∂ vi     ∂v     1 ∂p 1 ∂σ ij
                   =     + vj i = −      +       + gi , i = 1, 2,3                                  (3.14)
                dt   ∂t      ∂v j   ρ ∂xi ρ ∂x j
Здесь j - индекс суммирования, который еще называют немым индексом.
Слева стоит субстанциональная производная i -й компоненты скорости.


     Насколько         мы         продвинулись                к         замкнутой                  системе
гидродинамических уравнений, записав три уравнения Навье (3.14) и одно
уравнение неразрывности (3.5)? У нас 4 уравнения и 11 неизвестных: 3
скорости, p , ρ и 6 компонент симметричного тензора напряжений σ ij .

Для замыкания системы уравнений требуется выразить σ ij через другие

характеристики движения жидкости. Обычно компоненты σ ij связывают

со скоростью v с помощью эмпирических законов, а они, в свою очередь,
определяют модель жидкости.

- 26 -