Гидродинамика. Мазо А.Б - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

- 25 -
надо умножить напряжение на площадь соответствующей грани на
косинус между нормалью к ней и осью
x
(см. табл. 2.1).
Таблица 3.1. Поверхностные силы в направлении
x
Грань Силы Тип
x
()
xx
p
dydz
σ
−
нормальный
x+dx
()
xx
p
dydz
σ
−
+
нормальный
y
xу
dxdz
σ
−
касательный
y+dy
xу
dxdz
σ
касательный
z
xz
dydx
σ
−
касательный
z+dz
xz
dydx
σ
касательный
Мы выписали все силы, которые действуют на грани элементарного
объема
V в направлении оси х. Чтобы получить полную силу (интеграл по
поверхности
S ) надо их сложить.
()
(
)
{
}
() ()
{}
() ()
{}
xxx xx
xdx x
S
xz xz xy xy
ydy y
zdz z
pdS p p dydz
dxdz dxdy
σσ
σσ σσ
+
+
+
=−+ −−+ +
+− +−
∫
(3.11)
Интегралы по объему от массовых сил и интеграл (9) при
0V dxdydz=→ представим в виде произведения V на подынтегральную
функцию (т.н. теорема о среднем значении). Получим
,
grad grad
xx
V
xx
x
x
V
g dV dxdydz g
vv
v v dV dxdydz v v
tt
ρρ
ρρ
≈
∂∂
⎛⎞⎛⎞
+⋅ ≈ +⋅
⎜⎟⎜⎟
∂∂
⎝⎠⎝⎠
∫
∫

Объединим эти равенства с (3.10) и разделим на 0
V dxdydz
→ : 
надо умножить напряжение на площадь соответствующей грани на
косинус между нормалью к ней и осью x (см. табл. 2.1).


                                   Таблица 3.1. Поверхностные силы в направлении x
      Грань                                        Силы                                    Тип
         x                               ( p − σ xx )dydz                            нормальный
       x+dx                             ( − p + σ xx )dydz                           нормальный
         y                                     −σ xу dxdz                            касательный

       y+dy                                    σ xу dxdz                             касательный

         z                                     −σ xz dydx                            касательный
       z+dz                                    σ xz dydx                             касательный


    Мы выписали все силы, которые действуют на грани элементарного
объема V в направлении оси х. Чтобы получить полную силу (интеграл по
поверхности S ) надо их сложить.

             ∫ px dS = {( − p + σ xx ) x + dx − ( − p + σ xx ) x } dydz +
             S                                                                                     (3.11)
                 {
             + (σ xz )
                          y + dy
                                   − (σ xz )
                                               y   }dxdz + {(σ   xy   ) z + dz − (σ xy ) z }dxdy
    Интегралы по объему от массовых сил и интеграл (9) при
V = dxdydz → 0 представим в виде произведения V на подынтегральную
функцию (т.н. теорема о среднем значении). Получим

             ∫ ρ g x dV ≈ dxdydz ρ g x ,
         V

                     ⎛ ∂ vx                ⎞               ⎛∂v                ⎞
             ∫ρ⎜     ⎝ ∂t
                            + v ⋅ grad v x ⎟ dV ≈ dxdydz ρ ⎜ x + v ⋅ grad v x ⎟
                                           ⎠               ⎝ ∂t               ⎠
             V

    Объединим эти равенства с (3.10) и разделим на V = dxdydz → 0 :




                                                                                                   - 25 -

Страницы