Гидродинамика. Мазо А.Б - 44 стр.

                                              ∂v ∂u
                                  ω = ωz =      − .
                                              ∂x ∂y
Рассмотрим сдвиговое течение над горизонтальной стенкой при v = 0 ,
                                  ∂u             ∂u
см. рис. 5.1. Получаем ωz = −        . Поскольку    > 0 (см. рисунок), то
                                  ∂y             ∂y
ω < 0.
Вообще, направление вращения жидкости по часовой стрелке дает
отрицательную завихренность, а против часовой – положительную.



Уравнения движения в форме Громеки - Ламба

   Запишем уравнение Навье-Стокса для x -компоненты скорости.
                 ∂u    ∂u    ∂u    ∂u    1 ∂p
                    +u    +v    +w    =−      + ν Δu + g x .
                 ∂t    ∂x    ∂y    ∂z    ρ ∂x
Левая часть представляет собой субстанциональную производную.
Формулировка Громеки-Ламба основана на том, чтобы выразить
субстанциональную производную скорости через кинетическую энергию
V 2 / 2 и завихренность ω .
     Поскольку V 2 = v ⋅ v = u 2 + v 2 + w2 , то
                          1 ∂V 2   ∂u ∂v  ∂w
                                 =u +v +w    ,
                          2 ∂x     ∂x ∂x  ∂x
поэтому

              du ∂u ∂ ⎛ V 2 ⎞  ∂u ∂u ∂v  ∂w
                =  + ⎜      ⎟+v +w −v −w    =
              dt ∂t ∂x ⎝ 2 ⎠   ∂y ∂z ∂x  ∂x
               ∂u ∂ ⎛ V 2 ⎞     ⎛ ∂u ∂v ⎞     ⎛ ∂u ∂w ⎞
             =   + ⎜      ⎟ + v     −
                                ⎜ ∂y ∂x ⎟ + w ⎜ −     ⎟
               ∂t ∂x ⎝ 2 ⎠      ⎝       ⎠     ⎝ ∂z ∂x ⎠
                                        −ωz            ωy

Последние два слагаемых можно записать в виде

                              (               )
          − vωz + wω y ≡ − u y ωz − uzω y = − V × ω(   ) x = (ω × V ) x ,

- 44 -