Гидродинамика. Мазо А.Б - 45 стр.

и окончательно получаем уравнение движения в форме Громеки – Ламба
для х - составляющей вектора скорости

             ∂u ∂ ⎛ V 2 ⎞
               + ⎜
             ∂t ∂x ⎝ 2 ⎠
                             (
                        ⎟ + ω ×V      ) x = − ρ1 ∂∂px + ν Δu + g x .         (5.5)

Остальные два уравнения для v и w получаются аналогично и имеют вид

             ∂v ∂ ⎛ V 2 ⎞
               + ⎜
             ∂t ∂y ⎝ 2 ⎠
                            (
                        ⎟ + ω ×V     ) y = − ρ1 ∂∂py + ν Δv + g y ,
                                                                             (5.6)
             ∂w ∂ ⎛ V ⎞ 2
               + ⎜           (
                       ⎟ + ω ×V
             ∂t ∂z ⎝ 2 ⎠
                                      ) z = − ρ1 ∂∂pz + ν Δv + g z .
     Удобно записать все три уравнения движения в индексной форме:

        ∂ui   ∂ ⎛V 2 ⎞
            +   ⎜
        ∂t ∂xi ⎝ 2 ⎠
                        (
                     ⎟ + ω ×V    )i = − ρ1 ∂∂xp + ν Δui + gi ,   i = 1,2,3   (5.7)
                                             i

     Замечание. В научной литературе можно встретить формулировку,
при которой используется 2 ( v × w ) x . Это связано с тем, что раньше

завихренность находили как ½ от того, что используем мы.
     Уравнения в форме Громеки – Ламба удобны при рассмотрении
невязких течений, когда член ν Δui исчезает. Как увидим позднее, из этой
формы получается интеграл Бернулли.



Уравнение движения в форме переноса завихренности

     Эта форма особенно удобна и применяется для описания плоских
течений несжимаемой жидкости (w=0, ρ=const). Основная идея введения
новых преобразованных переменных состоит в том, чтобы вместо трех
уравнений в естественных переменных (двух уравнений Навье - Стокса и
уравнения неразрывности) получить 2 уравнения для завихренности
     ∂v ∂u
ω=     −   и функции тока ψ.
     ∂x ∂y


                                                                             - 45 -