Гидродинамика. Мазо А.Б - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

- 47 -
Для функции тока получается простое уравнение. Продифференцируем
/uy
ψ
=∂ ∂ по y , а /vx
ψ
=−∂ ∂ по
x
и вычтем второе из первого.
Получим уравнение Пуассона с вихрем в правой части,
22
22
uv
yx
yx
ψψ
∂∂∂∂
+=−
∂
∂
∂∂
,
или
ψ
ω
−
Δ≡. (5.9)
Осталось вывести уравнение для завихренности
ω
. Используем для
этого уравнения Навье-Стокса
1
x
du p
ug
dt x
ν
ρ
∂
−+Δ+
∂
(5.10)
1
y
dv p
vg
dt y
ν
ρ
∂
=
−+Δ+
∂
(5.11)
Продифференцируем (5.10) по
y , а (5.11) – по
x
и вычтем из второго
первое. Получим
22
11
,.
y
x
y
x
g
dv u p p v u g
dt x y y x x y x y x y
g
dg
ff
dt x y
ν
ρρ
ω
νω
∂
⎛⎞ ⎛⎞
∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂
−=− + +Δ−+−=
⎜⎟ ⎜⎟
∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂
⎝⎠ ⎝⎠
∂
∂
==Δ+ ≡ −
∂∂
(5.12)
Итак, вместо трех уравнений Навье-Стокса (2 уравнения для
,uv и
уравнение неразрывности для
p
) получились два уравнения для
преобразованных переменных – завихренности
ω
(5.12) и функции тока
ψ
(5.9):
,uv f
txy
ωωω
νω
ψω
∂∂∂
⎧
++=Δ+
⎪
∂∂∂
⎨
⎪
−Δ =
⎩
(5.13)
При этом давление не входит в постановку задачи. Если требуется найти
,,uv p, то в рамках модели переноса завихренности поступают так: 
Для функции тока получается простое уравнение. Продифференцируем
u = ∂ψ / ∂y по y , а v = −∂ψ / ∂x по x и вычтем второе из первого.
Получим уравнение Пуассона с вихрем в правой части,
                              ∂ 2ψ       ∂ 2ψ       ∂u       ∂v
                                     +          =        −        ,
                              ∂y 2       ∂x 2       ∂y       ∂x

или
                                     −Δψ ≡ ω .                         (5.9)
      Осталось вывести уравнение для завихренности ω . Используем для
этого уравнения Навье-Стокса
                            du    1 ∂p
                               =−      + νΔu + g x                    (5.10)
                            dt    ρ ∂x
                            dv    1 ∂p
                               =−      + νΔv + g y                    (5.11)
                            dt    ρ ∂y
Продифференцируем (5.10) по y , а (5.11) – по x и вычтем из второго
первое. Получим

         d ⎛ ∂v ∂u ⎞        1 ∂2 p 1 ∂2 p         ⎛ ∂v ∂u ⎞ ∂g y ∂g x
                  −     = −        +        + ν Δ ⎜ ∂x − ∂y ⎟ + ∂x − ∂y =
         dt ⎜⎝ ∂x ∂y ⎟⎠     ρ ∂y∂x ρ ∂x∂y         ⎝         ⎠
           dω                     ∂g y ∂g x
         =       = ν Δω + f , f ≡     −     .
             dt                    ∂x   ∂y
                                          (5.12)
Итак, вместо трех уравнений Навье-Стокса (2 уравнения для u, v и
уравнение неразрывности для                p ) получились два уравнения для
преобразованных переменных – завихренности ω (5.12) и функции тока ψ
(5.9):
                        ⎧ ∂ω     ∂ω     ∂ω
                        ⎪    + u    + v    = ν Δω + f ,
                        ⎨ ∂t     ∂x     ∂y                            (5.13)
                        ⎪ −Δψ = ω
                        ⎩
При этом давление не входит в постановку задачи. Если требуется найти
u, v, p , то в рамках модели переноса завихренности поступают так:

                                                                       - 47 -

Страницы