Гидродинамика. Мазо А.Б - 48 стр.

вначале для всех t решается система (5.13), находят функции ω , ψ , а
заодно по формулам (5.8) и скорости u, v . После того, как задача решена,
для отдельных моментов времени решается самостоятельная задача для
давления. Уравнение для p получают из уравнений импульсов (5.10),
(5.11). Первое дифференцируют по x , второе по y и складывают. В
результате получается уравнение Пуассона для давления
                                 ⎛ ∂u ∂v ∂u ∂v ⎞
                       −Δp = 2 ρ ⎜       −       ⎟.
                                 ⎝ ∂y ∂x   ∂x ∂y ⎠

Краевые задачи для уравнений в преобразованных переменных

     В параграфе 4.3 мы формулировали начальные и граничные условия
для уравнений Навье-Стокса в естественных переменных для задачи
обтекания тела в канале. Ниже будет дана постановка краевых условий
для той же задачи в преобразованных переменных ψ − ω .
     Начальные условия. Поскольку уравнение для ψ           стационарно,
начальное условие нужно лишь для ω . Если в начальный момент
жидкость покоится, то и вихрей нет,
                                t = 0 : ω = 0.
     Граничные условия на твердых стенках. Это верхняя и нижняя
стенки канала, y = ± H , а также поверхность тела γ . Задается условие
прилипания, т.е нормальная и касательная компоненты скорости равны
нулю. В терминах функции тока, согласно определению (5.7), эти
компоненты запишутся так:
                               ∂ψ           ∂ψ
                      vn = −      = 0, vτ =    = 0.                (5.14)
                               ∂τ           ∂n
Здесь, как и раньше, n и τ - нормаль и касательная к границе. Из первого
условия (5.14) следует, что функция тока ψ не меняется вдоль границы,
т.е. любая твердая стенка является линией тока для течения вязкой
жидкости. Следовательно, на трех обтекаемых поверхностях имеем

- 48 -