Гидродинамика. Мазо А.Б - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

- 50 -
nss
uuu
s
nn
ω
∂
∂∂
=−=
∂
∂∂
,
а из уравнения неразрывности получим
ns
uu
ns
∂
∂
=−
∂
∂
.
В результате имеем
,
nss
sn
uuu
uu
nnnnssns
ω
ω
∂∂∂
∂∂∂ ∂∂
⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎞
Δ=− Δ= = − =− =−
⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟
∂∂∂∂∂∂∂∂
⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎠
.
Подставив эти выражения в (5.19), получим т.н. граничные условия
Пирсона
,
pp
s
nn s
ω
ω
μμ
∂∂∂∂
=− =−
∂∂∂∂
. (5.20)
Если взять какую-либо точку
на контуре
γ
и проинтегрировать первое
из условий (5.20) по всему замкнутому контуру, то слева получим скачок
давления в точке А:
[
]
() ( 0) ( 0)pA pA pA
≡
+− −. Требование
непрерывности давления выражается равенством
[
]
() 0pA ≡ для любой
точки контура. При этом из (5.20) получим нелокальное (т.е. записанное
не для одной точки, а для всего контура) условие
0d
n
γ
ω
γ
∂
=
∂
∫
, (5.21)
которое следует использовать для определения константы
γ
ψ
.
Условия (5.16) – (5.18), когда на границе задана искомая функция,
называются граничными условиями 1-го рода, или главными граничными
условиями, или условиями Дирихле. Все эти граничные условия относятся
к уравнению для функции тока, в то время как для вихря нет физически
содержательных граничных условий на стенках. Вместо них имеются
«лишние» граничные условия Неймана для
ψ
, выраженные вторым
равенством (5.14), а именно
,: 0,1,2,3.
i
xy i
n
ψ
∂
∈Γ = =
∂
(5.19) 
                              ∂un ∂us ∂us
                                  ω=
                                  −    =    ,
                               ∂s   ∂n   ∂n
а из уравнения неразрывности получим
                                       ∂un   ∂u
                                           =− s .
                                       ∂n     ∂s
В результате имеем
                   ∂ω         ∂ ⎛ ∂un        ⎞ ∂ ⎛ ∂us ⎞         ∂ ⎛ ∂us ⎞     ∂ω
         Δus = −      , Δun =                ⎟ = ∂n ⎜ − ∂s ⎟ = − ∂s ⎜ ∂n ⎟ = − ∂s .
                   ∂n         ∂n ⎜⎝ ∂n       ⎠      ⎝      ⎠        ⎝    ⎠
Подставив эти выражения в (5.19), получим т.н. граничные условия
Пирсона
                              ∂p      ∂ω         ∂p      ∂ω
                                 = −μ    ,          = −μ    .                        (5.20)
                              ∂s      ∂n         ∂n      ∂s
Если взять какую-либо точку A на контуре γ и проинтегрировать первое
из условий (5.20) по всему замкнутому контуру, то слева получим скачок
давления       в      точке      А:     [ p( A)] ≡ p( A + 0) − p( A − 0) .      Требование

непрерывности давления выражается равенством                     [ p( A)] ≡ 0   для любой
точки контура. При этом из (5.20) получим нелокальное (т.е. записанное
не для одной точки, а для всего контура) условие
                                         ∂ω
                                       ∫ ∂n d γ = 0 ,                                (5.21)
                                       γ
которое следует использовать для определения константы ψ γ .

     Условия (5.16) – (5.18), когда на границе задана искомая функция,
называются граничными условиями 1-го рода, или главными граничными
условиями, или условиями Дирихле. Все эти граничные условия относятся
к уравнению для функции тока, в то время как для вихря нет физически
содержательных граничных условий на стенках. Вместо них имеются
«лишние» граничные условия Неймана для ψ , выраженные вторым
равенством (5.14), а именно
                                            ∂ψ
                              x, y ∈ Γi :      = 0, i = 1,2,3.                       (5.19)
                                            ∂n


- 50 -

Страницы