Гидродинамика. Мазо А.Б - 65 стр.

       Запишем проекцию уравнения движения (7.1) на выделенную линию
тока    . Оператор градиента перейдет в производную по направлению:
             ∂
grad = ∇ →      . Будем иметь
             ∂l
                     ∂ ⎛ v2 ⎞                1 ∂p
                        ⎜ ⎟ + ( v × ω )l = −      + Fl                   (7.2)
                     ∂l ⎝ 2 ⎠                ρ ∂l
Нетрудно видеть, что проекция векторного произведения на линию тока
равна нулю. В самом деле, вектор v × ω ортогонален как завихренности,
так и скорости, а направление       колинеарно скорости. Поэтому векторное
произведение v × ω ортогонально            , а проекция представляет собой
произведение модулей векторов на косинус угла между ними. Этот
косинус равен нулю из-за ортогональности соответствующих векторов.
       Дальнейшее   упрощение       уравнения    (7.2)   основано   на   двух
допущениях.
1) Массовые силы потенциальны, т.е. существует такая функция G , что
F = grad G , следовательно
                                  ∂G
                                    Fl =
                                      .                                  (7.3)
                                  ∂l
2) Можно ввести функцию давления Р, такую, что
                                1             ∂P 1 ∂p
                     grad P =       grad p,     =                        (7.4)
                                ρ             ∂l ρ ∂l
Подставив (7.3) и (7.4) в (7.2), получим уравнение

                           ∂ ⎧⎪ v 2         ⎫⎪
                               ⎨    + P − G  ⎬ = 0.
                           ∂l ⎩⎪ 2           ⎭⎪
Раз производная вдоль линии тока           равна нулю, значит, выражение в
фигурных скобках постоянно вдоль этой линии,

                             v2
                                + P − G = i(    ).                       (7.5)
                             2



                                                                         - 65 -