Математические задачи в энергетике. Медведева С.Н. - 33 стр.

План                     Содержание                                        План                      Содержание
       Поэтому достаточно транспонированную матрицу
                                                                                         ⎡U ⎤            ⎡U ⎤
       соединений МΣt     умножить справа на столбец                              UВ=МΣt ⎢ ∇ ⎥ =[MtMбt]× ⎢ ∇ ⎥ =MtU∇. (2)
       узловых напряжений UΣ, чтобы получить столбец                                      ⎣ 0 ⎦              ⎣ 0 ⎦
       разностей напряжений по концам каждой ветви, т. е.                         Подставим полученное выражения для падений
       падений напряжений на ветвях:                                              напряжений на ветвях в матричное уравнение
       UВ= МΣtUΣ (1)                                                              второго закона Кирхгофа получим, NMtU∇=0
       Пример:                                                                    Поскольку это условие справедливо при любой
                  ⎡− 1 0 0 0 1 ⎤                                                  матрице U∇, то NMt=0 (*)
                  ⎢− 1 0 1 0 0⎥ ⎡U a ⎤ ⎡ − U a + U e ⎤                            Полученное      выражение      отображает    общее
                  ⎢                  ⎥ ⎢U b ⎥ ⎢ − U a + U c ⎥                     топологическое свойство графа, но вместе с тем оно
                  ⎢ 0 0 − 1 1 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢                         ⎥
       M ∑ tU ∑ = ⎢                  ⎥ ⎢U c ⎥ = ⎢− U c + U d ⎥                    не позволяет непосредственно определить матрицу
                  ⎢ 0 − 1 0 0 1⎥ ⎢U ⎥ ⎢ − U + U ⎥                                 N по известной матрице М. Это связано с тем, что
                  ⎢ 0 0 − 1 0 1⎥ ⎢ d ⎥ ⎢              c     e⎥
                                                                                  одной и той же электрической цепи в общем случае
                  ⎢                    ⎢    ⎥
                                     ⎥⎣ e ⎦ ⎣
                                         U      ⎢ − U b + U c ⎥⎦
                  ⎣ 0 − 1 1 0 0⎦                                                  соответствует    несколько     различных    систем
                                                                                  независимых контуров, или, иными словами, одной
       Здесь матрица узловых напряжений UΣ записана для
       всех узлов схемы (включая балансирующий). При                              и той же матрице М можно поставить в соответствие
       этом узловые напряжения могут быть определены                              несколько матриц N.
       относительно любого узла.                                                  Однозначность в выделении системы независимых
       Узловые напряжения целесообразно определять                                контуров, позволяющая получить матрицу N по
       относительно балансирующего узла, т. е. как                                матрице М, может быть достигнута при
       падения напряжения от каждого из независимых                               использовании таких понятий теории графов, как
       узлов схемы до балансирующего. Тогда можно                                 дерево и хорды.
       выделить вектор-столбец, связанный с напряжением            Дерево         Деревом    называется     наименьший     связанный
       балансирующего узла и записатьравенство
                                                                                  подграф, содержащий все вершины графа. Такой
                                     ⎡U ∇ ⎤                                       подграф не содержит контуров. Иными словами,
                         UΣ - Uбn= ⎢      ⎥,                                      дерево – это разомкнутая часть замкнутой схемы,
                                     ⎣ 0 ⎦
                                                                                  которая соединяет все ее узлы. Число ветвей,
       где    n—единичный      столбец    (при   этом
       балансирующий узел предполагается последним по                             входящих в состав дерева схемы, на единицу меньше
                                                                                  числа узлов всей схемы (mД=n-1). Меньшим числом
       номеру, т. е. Uб=Un. Здесь матрица U∇=(Ui-Uб),
                                                                                  ветвей нельзя соединить те же узлы.
       i=1,…, n-1 определяет напряжения узлов
                                                                   Хорда          Ветви, не вошедшие в дерево схемы, называются
       относительно балансирующего.
                                                                                  хордами. Число хорд равно числу независимых
       Подставим в (1)
                                                                                  контуров схемы (mx=m- mД=m-n+1=k). Подграф,
                                                                                  состоящий из хорд, может содержать контуры; он
                                                                                  может получиться и несвязанным.