Математические задачи в энергетике. Медведева С.Н. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

β
α
−
α
β
βα
−
α
β
α
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
= I
1
N
J
0
M
I
INJM
I
I
I
t
t
1
1
,
используя разложение
[
]
βα
=
NNN и выбор
базисных контуров
1
=
β
N , получим N=[N
α
1],
транспонируем, тогда
β
−
α
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
= INJ
0
M
I
t
1
(8)
Подставим (8) во 2-й з-н Кирхгофа NZ
В
I=E
К
К
1
В
ЕINJ
0
M
NZ
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
β
−
α
t
Как понятно, токи в хордах являются контурными,
выразим слагаемое с I
β
(= I
К
)
J
0
M
NZЕINNZ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
−
α
β
1
ВКВ t
или J
0
M
NZЕIZ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
−
α
1
ВККК
, (***) где
Z
К
=NZ
В
N
t
– матрица контурных сопротивлений (ее
свойства потом) (квадратная неособенная матрица.
Решив уравнения контурных токов (***), определим
токи в контурах, затем в ветвях, затем падения
напряжения в ветвях и напряжения узлов
относительно балансирующего узла.
В результате задача определения параметров УР
решена.
Правила
определения
элементов
матрицы
контурных
сопротивлений
В силу диагональности матрицы сопротивлений
ветвей Z
В
произвольный элемент матрицы Z
К
определяется след. образом
∑
=
=
m
k
kkjkiij
ZnnZ
1
Поскольку каждый столбец матрицы N
соответствует ветви, а строка – контуру, можно
сформулировать правила определения элементов
матрицы Z
К
через сопротивления ветвей Z
В
1) недиагональный элемент Z
ij
равен алгебраической
сумме сопротивлений ветвей, одновременно
входящих в контуры i и j. Слагаемое будет
положительным, если направления обхода контуров
по данной ветви совпадают, и отрицательным, если
не совпадают. Если контуры не имеют общих ветвей
Z
ij
=0
2) диагональный элемент Z
ii
равен сумме
сопротивлений ветвей, образующих i-й контур
Свойства
матрицы Zк
1) диагональные элементы отличны от нуля и по
абсолютной величине превосходят недиагональные
элементы соотв. строки и столбца (см. как
образуются);
2) количество отличных от нуля недиагональных
элементов = k+2p, где k-число независимых
контуров, p- число пар контуров, имеющих общие
ветви;
3) матрица Zк симметричная , т. е. Z
ij
=
ji
.
Узловые
уравнения
Ранее мы получили (2): U
В
=M
t
U
∇
Подставим закон Ома для ветви в матричной форме
U
В
= Z
В
I-E в это уравнение, получим
M
t
U
∇
=Z
В
I-E
Решим его относительно I
()
EUMZI +=
∇
−
t
1
В
Подставим полученное выражение в 1-й з-н
Кирхгофа J=MI
EMZUMMZJ
1
В
1
В
−
∇
−
+=
t
или
EMZJUMMZ
1
В
1
В
−
∇
−
−=
t
обозначим
t
MMZY
1
ВУ
−
= – матрица узловых
проводимостей. Тогда окончательно
EMZJUY
1
ВУ
−
∇
−=
(4*) –система узловых
уравнений 
                                                                                              Поскольку     каждый     столбец        матрицы    N
                   ⎡I α ⎤ ⎡M −1J + N αt Iβ ⎤ ⎡M α −1 ⎤    ⎡ N αt ⎤
                I=⎢ ⎥=⎢ α                  ⎥=⎢       ⎥J + ⎢      ⎥ Iβ ,                       соответствует ветви, а строка – контуру, можно
                   ⎣ Iβ ⎦ ⎢⎣     Iβ        ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦     ⎣ 1 ⎦                               сформулировать правила определения элементов
                используя разложение N = N α N β        [        ]
                                                            и выбор
                                                                                              матрицы ZК через сопротивления ветвей ZВ
                                                                                              1) недиагональный элемент Zij равен алгебраической
                базисных контуров N β = 1 , получим N=[Nα 1],                                 сумме    сопротивлений     ветвей,      одновременно
                                                                                              входящих в контуры i и j. Слагаемое будет
                транспонируем, тогда                                                          положительным, если направления обхода контуров
                    ⎡M −1 ⎤                                                                   по данной ветви совпадают, и отрицательным, если
                I = ⎢ α ⎥J + Nt Iβ                (8)                                         не совпадают. Если контуры не имеют общих ветвей
                    ⎣⎢ 0 ⎦⎥                                                                   Zij =0
                Подставим (8) во 2-й з-н Кирхгофа NZВI=EК                                     2) диагональный элемент Zii равен сумме
                     ⎛ ⎡M −1 ⎤           ⎞                                                    сопротивлений ветвей, образующих i-й контур
                NZ В ⎜ ⎢ α ⎥ J + N t I β ⎟ = Е К                                 Свойства     1) диагональные элементы отличны от нуля и по
                     ⎜⎢ 0 ⎥              ⎟
                     ⎝⎣      ⎦           ⎠                                       матрицы Zк   абсолютной величине превосходят недиагональные
                Как понятно, токи в хордах являются контурными,                               элементы соотв. строки и столбца (см. как
                выразим слагаемое с Iβ(= IК)                                                  образуются);
                                          ⎡M −1 ⎤                                             2) количество отличных от нуля недиагональных
                NZ В N t I β = Е К − NZ В ⎢ α ⎥ J                                             элементов = k+2p, где k-число независимых
                                          ⎣⎢ 0 ⎦⎥                                             контуров, p- число пар контуров, имеющих общие
                                                                                              ветви;
                                              ⎡M −1 ⎤
                или      Z К I К = Е К − NZ В ⎢ α ⎥ J ,              (***) где                3) матрица Zк симметричная , т. е. Zij = ji.
                                              ⎣⎢ 0 ⎦⎥                            Узловые      Ранее мы получили (2): UВ=MtU∇
                ZК=NZВNt – матрица контурных сопротивлений (ее                   уравнения    Подставим закон Ома для ветви в матричной форме
                свойства потом) (квадратная неособенная матрица.                              UВ= ZВI-E в это уравнение, получим
                Решив уравнения контурных токов (***), определим                                  MtU∇=ZВI-E
                                                                                              Решим его относительно I
                токи в контурах, затем в ветвях, затем падения
                                                                                              I = Z −В1 (M t U ∇ + E )
                напряжения        в      ветвях     и       напряжения   узлов
                                                                                              Подставим полученное       выражение      в   1-й   з-н
                относительно балансирующего узла.                                             Кирхгофа J=MI
                В результате задача определения параметров УР                                 J = MZ −В1M t U ∇ + MZ −В1E или
                решена.
Правила         В силу диагональности матрицы сопротивлений                                   MZ −В1M t U ∇ = J − MZ −В1E
определения     ветвей ZВ произвольный элемент матрицы ZК                                     обозначим YУ = MZ −В1M t – матрица узловых
элементов       определяется след. образом
матрицы                  m                                                                    проводимостей. Тогда окончательно
контурных       Z ij =   ∑ nki nkj Z k                                                          YУ U ∇ = J − MZ −В1E        (4*)   –система узловых
сопротивлений            k =1                                                                                                             уравнений

Страницы