Математические задачи в энергетике. Медведева С.Н. - 37 стр.

                В результате задача определения параметров УР                            Подставим полученное      выражение    в   1-й   з-н
                решена                                                                   Кирхгофа J=MI
Правила         В силу диагональности матрицы сопротивлений                                     −1             −1
                                                                                         J = MZ В M t U ∇ + MZ В E или
определения     ветвей ZВ произвольный элемент матрицы ZК
элементов                                                                                   −1                 −1
                определяется след. образом                                               MZ В M t U ∇ = J − MZ В E
матрицы                  m
контурных       Z ij =   ∑ nki nkj Z k                                                   обозначим YУ = MZ −В1M t – матрица узловых
сопротивлений            k =1                                                            проводимостей. Тогда окончательно
                Поскольку      каждый      столбец      матрицы    N
                                                                                           YУ U ∇ = J − MZ −В1E      (4*)  –система узловых
                соответствует ветви, а строка – контуру, можно
                сформулировать правила определения элементов                                                                      уравнений
                                                                                         Обычно эдс в ветвях отсутствуют, тогда
                матрицы ZК через сопротивления ветвей ZВ
                                                                                         YУ U ∇ = J      (5*)
                1) недиагональный элемент Zij равен алгебраической
                сумме      сопротивлений     ветвей,    одновременно                     Формирование узловых уравнений сводится к
                входящих в контуры i и j. Слагаемое будет                                формированию матрицы узловых проводимостей
                положительным, если направления обхода контуров        Правила           Матрица узловых проводимостей
                                                                       формирования
                по данной ветви совпадают, и отрицательным, если                       YУ = MYВ M t       (9)       является квадратной,
                не совпадают. Если контуры не имеют общих ветвей       элементов
                                                                       матрицы узловых поскольку матрица проводимостей ветвей, обратная
                Zij =0                                                 проводимостей   матрице сопротивлений ветвей – диагональная
                2) диагональный элемент Zii равен сумме                                Элемент матрицы определяется
                сопротивлений ветвей, образующих i-й контур                                       m
Свойства        1) диагональные элементы отличны от нуля и по                            Yij =   ∑ mik m jk Yk    (10) (суммирование до m –
матрицы Zк      абсолютной величине превосходят недиагональные                                   k =1
                элементы соотв. строки и столбца (см. как                                                              число ветвей)
                образуются);
                2) количество отличных от нуля недиагональных                            Вспомним, что каждый столбец матрицы М
                элементов = k+2p, где k-число независимых                                соответствует ветви, каждая строка – узлу. В каждом
                контуров, p- число пар контуров, имеющих общие                           столбце два ненулевых элемента –1 и +1, поэтому в
                ветви;                                                                   сумме только одна пара даст ненулевое
                3) матрица Zк симметричная , т. е. Zij = ji.                             произведение mik m jk и оно равно –1. Поэтому
Узловые         Ранее мы получили (2): U в = M t U ∇                                     1) любой недиагональный элемент матрицы Yij
уравнения       Подставим закон Ома для ветви в матричной форме                          проводимостей равен взятой с обратным знаком
                U в = Z в I − E в это уравнение, получим                                 проводимости ветви между узлами i и j. Yij = −Yl
                   Mt U∇ = ZвI − E
                                                                                         (11)
                Решим его относительно I                                                 Если узлы не соединены, элемент матрицы =0
                     −1
                I = ZВ  (M t U ∇ + E)