Математические задачи в энергетике. Медведева С.Н. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

ЛЕКЦ. 2-3: УЗЛОВЫЕ УРАВНЕНИЯ УСТАНОВИВШЕГОСЯ РЕЖИМА
ЧЕРЕЗ МОЩНОСТИ НАГРУЗОК И ГЕНЕРАТОРОВ
Общий вид узловых уравнений УР через мощности
В общем виде узловые уравнения УР записываются в матричной форме
JYUY 3=+
б
бу
U . (1)
Дополняем уравнениями мощностей узлов
i
i
ii
i
JUjQPS
)
3=+= - для i-го узла.
Вектор-столбец узловых мощностей
JUS
)
д
у
3= , (2)
где
д
U – диагональная матрица линейных напряжений независимых узлов.
Объединяем (1) и (2), т.е. из (2) находим
уд
SUJ
1
3
1
−
=
)
;
уд
SUJ
)
)
1
3
1
−
= .
Подставив в (1), получим основное уравнение УР через мощности
генераторов и нагрузок – СНАУ:
удб
бу
SUYUY
)
)
1−
=+ U . (3)
Об единственности решения СНАУ
Система (3) имеет бесконечное множество решений. Докажем это.
Доказательство для упрощения выкладок рассмотрим для случая
0
=
б
U .
Тогда выражение (3) будет выглядеть
уд
у
SUUY
)
)
1−
= или
у
у
д
SUYU
)
)
= . (4)
Будем считать, что решением является модуль напряжения U
* без
фазы. Тогда любой другой вектор, отличающийся от решения изменением фаз
всех компонент на одну величину δ, также будет решением, т.е.
δ
=
j
e
*
UU –
решение.
Подставим в (4)
у
*
у
*
SUYU
)
)
=
δ−δ jj
ee . (5)
Произведение скалярных величин
1=
δ−δ jj
ee , тогда из (5) получаем
тождество
у
*
у
*
SUYU
)
)
= - по определению, следовательно, U* – решение,
δj
e
*
U – тоже.
Физическое объяснение полученной множественности решений:
– в цепи переменного тока значения мощностей зависят не от
абсолютных значений напряжений узлов, а от разности фаз;
– в поперечных ветвях потоки мощности не зависят от фаз напряжений
узлов.
Математически
это отвечает вырожденности системы (4), т.е.
невозможности ее решения ни одним из методов. Для получения
невырожденной системы уравнений надо задать значение фазы одного из
напряжений, т.е. число неизвестных фаз будет (n-2), неизвестных модулей (n-
1). Уравнений должно быть (2n-3) отдельно для вещественных и мнимых
частей. То есть надо исключить одно
уравнение для любого узла.
Полученная система будет невырожденной, однако с технической
точки зрения ее решение не имеет смысла. Почему?
Уравнения (4): сумма правых частей равна сумме мощностей
генераторов и нагрузок, т.е. равна сумме потерь мощности и исключение
одного из уравнений означает, что мы задаем величину потерь мощности
(активной или реактивной
). Такое задание будет приводить к технически
недопустимым решениям. 
ЛЕКЦ. 2-3: УЗЛОВЫЕ УРАВНЕНИЯ УСТАНОВИВШЕГОСЯ РЕЖИМА                           фазы. Тогда любой другой вектор, отличающийся от решения изменением фаз
        ЧЕРЕЗ МОЩНОСТИ НАГРУЗОК И ГЕНЕРАТОРОВ
                                                                              всех компонент на одну величину δ, также будет решением, т.е. U = U e jδ –
                                                                                                                                                              *

      Общий вид узловых уравнений УР через мощности
                                                                              решение.
      В общем виде узловые уравнения УР записываются в матричной форме               Подставим в (4)
                       Y у U + Y бU б = 3 J .                           (1)                                        )*                      )
                                                                                                                   U e jδ Y у U * e − jδ = S у .                  (5)
      Дополняем уравнениями мощностей узлов
                                        )                                            Произведение скалярных величин e jδ e − jδ = 1 , тогда из (5) получаем
                  S i = Pi + jQi = 3U i J i - для i-го узла.                              )*              )
                                                                                                     *
                                                                              тождество U Y у U = S у - по определению, следовательно, U* – решение,
      Вектор-столбец узловых мощностей
                                                )                             U *e jδ – тоже.
                                     S у = 3U д J ,                     (2)
                                                                                     Физическое объяснение полученной множественности решений:
где U д – диагональная матрица линейных напряжений независимых узлов.
                                                                                 –   в цепи переменного тока значения мощностей зависят не от
      Объединяем (1) и (2), т.е. из (2) находим                                      абсолютных значений напряжений узлов, а от разности фаз;
                                                                                 –   в поперечных ветвях потоки мощности не зависят от фаз напряжений
                   )  1 −1                     1 ) −1 )                              узлов.
                   J=    Uд Sу ;            J=    Uд Sу .
                       3                        3                                    Математически это отвечает вырожденности системы (4), т.е.

      Подставив в (1), получим основное уравнение УР через мощности           невозможности     ее       решения    ни    одним      из   методов.   Для   получения

генераторов и нагрузок – СНАУ:                                                невырожденной системы уравнений надо задать значение фазы одного из
                                        ) )                                   напряжений, т.е. число неизвестных фаз будет (n-2), неизвестных модулей (n-
                       Y у U + Y бU б = U −д1S у .                      (3)
                                                                              1). Уравнений должно быть (2n-3) отдельно для вещественных и мнимых
                                                                              частей. То есть надо исключить одно уравнение для любого узла.
      Об единственности решения СНАУ                                                 Полученная система будет невырожденной, однако с технической
      Система (3) имеет бесконечное множество решений. Докажем это.           точки зрения ее решение не имеет смысла. Почему?
Доказательство для упрощения выкладок рассмотрим для случая U б = 0 .                Уравнения (4): сумма правых частей равна сумме мощностей

Тогда выражение (3) будет выглядеть                                           генераторов и нагрузок, т.е. равна сумме потерь мощности и исключение
                          ) )                )         )                      одного из уравнений означает, что мы задаем величину потерь мощности
                  Y у U = U д−1S у    или    Uд Yу U = Sу .             (4)
                                                                              (активной или реактивной). Такое задание будет приводить к технически
      Будем считать, что решением является модуль напряжения U* без
                                                                              недопустимым решениям.

Страницы