ВУЗ:
Составители:
ПГУ АЭЭС оптимизация
множителей
Лагранжа
ствуют. Это означает, что в узлах 2 и 3 имеет место полная компен-
сация реактивной мощности. Тогда задача формулируется несколько
иначе: определить
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++=Δ
13
2
ном
2
13
23
2
ном
2
23
12
2
ном
2
12
minmin r
U
P
r
U
P
r
U
P
P (д1)
при выполнении ограничений-равенств
32313
22312
;
PPP
PPP
=+
=
−
(г1)
Функция Лагранжа
()
()
0
323132
22312113
2
ном
2
13
23
2
ном
2
23
12
2
ном
2
12
=−+λ+
+−−λ+++=
PPP
PPPr
U
P
r
U
P
r
U
P
L
В функции 5 переменных: 3 потока мощности и 2 множителя Лагран-
жа. Решаем, приравнивая 0 частные производные по всем перемен-
ным:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=−+=
λ∂
∂
=−−=
λ∂
∂
=λ−=
∂
∂
=λ+λ−=
∂
∂
=λ+=
∂
∂
.0
;0
;0
2
;0
2
;0
2
32313
2
22312
1
2
2
ном
1313
13
21
2
ном
2323
23
1
2
ном
1212
12
PPP
L
PPP
L
U
rP
P
L
U
rP
P
L
U
rP
P
L
Из трех первых уравнений системы исключим множители Лагранжа,
получим уравнение, соответствующее 2 закону Кирхгофа (*U
ном
)
0
131323231212
=−
+
rPrPrP .
Подставим Р
23
из 4-го уравнения и Р
13
из 5-го с учетом Р
23
из 4-го
(
)( )
0
133212232121212
=
+
+−−
−
+
rPPPrPPrP .
Раскрываем скобки, выражаем
Р
12
, получаем выражение, соответст-
вующее условию (14а).
Поскольку реактивная мощность входит в выражения аналогично
активной, то условие (14б) может быть записано по аналогии.
35
Таким образом, решение задачи методом дифференциального счис-
ления и методом неопределенных множителей Лагранжа дает оди-
наковый результат, что подтверждает правильность решения и воз-
можность применения любого метода.
Оптимизация
распределения
мощностей в
сложной сети
Запишем соответствующие выражения для сложной сети в мат-
ричном виде для случая отсутствия потоков реактивной мощности.
Потери мощности в линиях в матричной форме запишутся сле-
дующим образом:
вв
т
в
2
ном
1
PRP
U
P =Δ
,
где Р
в
– вектор-столбец потоков активных мощностей в ветвях, R
в
–
диагональная матрица активных сопротивлений ветвей.
Для сети, рассмотренной в предыдущем примере, потери мощно-
сти в матричном развернутом виде запишутся
13
23
12
13
23
12
132312
2
ном
00
00
00
1
P
P
P
r
r
r
PPP
U
P ⋅⋅=Δ
.
Уравнения-ограничения по 1 закону Кирхгофа в матричной форме
имеют вид
PMP
=
в
,
где Р – вектор-столбец активных мощностей в узлах, M – первая
матрица инциденций, в которой n-1 строк (n узлов), m столбцов (m
ветвей).
Для сети в примере
3
2
13
23
12
110
011
P
P
P
P
P
=⋅
−−
−
.
Задача оптимизации: определить
вв
т
в
2
ном
1
min PRP
U
P =Δ
при выполнении условия
PMP
=
в
.
В математическом плане – это задача квадратичного программиро-
вания. Запишем функцию Лагранжа в матричном виде:
()
PMPλPRP −+=
в
т
вв
т
в
2
ном
1
U
L
,
где
λ – вектор-столбец множителей Лагранжа.
Производим дифференцирование функции Лагранжа по вектор-
столбцам
Р
в
и λ.
36
При взятии производных учитываем, что
ПГУ АЭЭС оптимизация
множителей ствуют. Это означает, что в узлах 2 и 3 имеет место полная компен- наковый результат, что подтверждает правильность решения и воз-
Лагранжа сация реактивной мощности. Тогда задача формулируется несколько можность применения любого метода.
иначе: определить Оптимизация Запишем соответствующие выражения для сложной сети в мат-
⎛ P122 2
P23 P132 ⎞ распределения ричном виде для случая отсутствия потоков реактивной мощности.
min ΔP = min 2 r12 + 2 r23 + 2 r13 ⎟
⎜ (д1) мощностей в Потери мощности в линиях в матричной форме запишутся сле-
⎜U U ном U ном ⎟⎠ сложной сети дующим образом:
⎝ ном
1
при выполнении ограничений-равенств ΔP = Pвт R в Pв ,
P12 − P23 = P2 ; 2
(г1)
U ном
P13 + P23 = P3 где Рв – вектор-столбец потоков активных мощностей в ветвях, Rв –
Функция Лагранжа диагональная матрица активных сопротивлений ветвей.
2 Для сети, рассмотренной в предыдущем примере, потери мощно-
P2 P23 P132
L = 212 r12 + 2
r23 + 2 r13 + λ1 (P12 − P23 − P2 ) + сти в матричном развернутом виде запишутся
U ном U ном U ном r12 0 0 P12
1
+ λ 2 (P13 + P23 − P3 ) = 0 ΔP = 2
P12 P23 P13 ⋅ 0 r23 0 ⋅ P23 .
В функции 5 переменных: 3 потока мощности и 2 множителя Лагран- U ном 0 0 r13 P13
жа. Решаем, приравнивая 0 частные производные по всем перемен- Уравнения-ограничения по 1 закону Кирхгофа в матричной форме
ным: имеют вид
⎧ ∂L 2 P12 r12 MPв = P ,
⎪ ∂P = 2
+ λ1 = 0;
⎪ 12 U ном где Р – вектор-столбец активных мощностей в узлах, M – первая
матрица инциденций, в которой n-1 строк (n узлов), m столбцов (m
⎪ ∂L 2 P23 r23
⎪ ∂P = U 2 − λ1 + λ 2 = 0; ветвей).
23 Для сети в примере
⎪ ном
⎪ ∂L 2 P13 r13 P
⎨ = 2 − λ 2 = 0; − 1 1 0 ⋅ P12 = P2 .
∂P
⎪ 13 U ном 0 − 1 − 1 23 P3
P13
⎪ ∂L
⎪ = P12 − P23 − P2 = 0; Задача оптимизации: определить
⎪ ∂λ1 1
⎪ ∂L = P + P − P = 0. min ΔP = 2
Pвт R в Pв
⎪ ∂λ 13 23 3 U ном
⎩ 2 при выполнении условия MPв = P .
Из трех первых уравнений системы исключим множители Лагранжа,
В математическом плане – это задача квадратичного программиро-
получим уравнение, соответствующее 2 закону Кирхгофа (*Uном) вания. Запишем функцию Лагранжа в матричном виде:
P12 r12 + P23 r23 − P13 r13 = 0 . 1
Подставим Р23 из 4-го уравнения и Р13 из 5-го с учетом Р23 из 4-го
L= 2
Pвт R в Pв + λ т (MPв − P ) ,
U ном
P12 r12 + (P12 − P2 )r23 − (− P12 + P2 + P3 )r13 = 0 .
где λ – вектор-столбец множителей Лагранжа.
Раскрываем скобки, выражаем Р12, получаем выражение, соответст- Производим дифференцирование функции Лагранжа по вектор-
вующее условию (14а).
столбцам Рв и λ.
Поскольку реактивная мощность входит в выражения аналогично
активной, то условие (14б) может быть записано по аналогии. 36
35 При взятии производных учитываем, что
Таким образом, решение задачи методом дифференциального счис-
ления и методом неопределенных множителей Лагранжа дает оди-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- …
- следующая ›
- последняя »
