ВУЗ:
Составители:
Необходимое и достаточное условие статической устойчивости
обеспечивается тогда и только тогда, когда все корни
характеристического уравнения системы имеют отрицательную
вещественную часть. (Корни м.б. действительными и комплексно
сопряженными.)
Для простых корней решение СДУ имеет вид
t
nk
t
k
n
eCeCtx
α
α
++= ...)(
1
1
Паре комплексно сопряженных корней соответствуют два члена в
решении
)sin(2
)(
,1
)(
srs
t
sk
tj
ks
tj
sk
teCeAeA
sssss
ϕ+ω=+
αω−α
+
ω+α
.
Следовательно, значение корней характеристического уравнения не
только указывает на устойчивость или неустойчивость системы, но и
устанавливает вид функций, составляющих переходный процесс.
Если все корни отрицательны, т.е. лежат в левой полуплоскости, то
все составляющие по модулю экспоненциально затухают (или затухает
амплитуда колебаний). (рисунок!)
Если среди действительных корней есть хотя
бы один
положительный, то составляющая решения, соответствующего этому
корню экспоненциально растет – система неустойчива (апериодическое
нарушение устойчивости).
Если среди комплексных корней имеется хотя бы одна пара с
положительными корнями, то соответствующая составляющая решения
имеет вид экспоненциально нарастающих колебаний (колебательное
нарушение устойчивости или самораскачивание).
Получение корней характеристического уравнения задача
достаточно сложная, чем
выше порядок системы уравнений, тем больше
трудоемкость решения задачи отыскания корней характеристического
уравнения. Поэтому при исследовании устойчивости системы
пользуются алгебраическими критериями устойчивости, которые
связаны с коэффициентами характеристического уравнения.
Критерий Гурвица.
Критерий Гурвица определяет необходимые и достаточные условия
устойчивости системы любого порядка.
Из рассчитанных коэффициентов характеристического уравнения
строится матрица Гурвица порядка n. По следующим правилам:
1.
в первой строке в порядке возрастания индекса пишутся
коэффициенты только с четными номерами, порядок до n
заполняется нулями;
2.
во второй – с четными, начиная с 0;
3.
3 и 4 строки получаются сдвигом на 1 позицию вправо всех
значений коэффициентов;
4.
5 и 6 – еще сдвиг предыдущих строк на 1 позицию вправо.
В диагонали должны быть соответствующие строке
i
α
.
Пример: n=5
531
420
531
420
531
00
00
00
00
00
ααα
ααα
ααα
ααα
ααα
Для соблюдения устойчивости требуется, чтобы все коэффициенты
i
α
были положительными, кроме того, все n диагональных миноров
αi<0
αi>0
αi<0
αi>0
Необходимое и достаточное условие статической устойчивости Если среди действительных корней есть хотя бы один обеспечивается тогда и только тогда, когда все корни положительный, то составляющая решения, соответствующего этому характеристического уравнения системы имеют отрицательную корню экспоненциально растет – система неустойчива (апериодическое вещественную часть. (Корни м.б. действительными и комплексно нарушение устойчивости). сопряженными.) Если среди комплексных корней имеется хотя бы одна пара с Для простых корней решение СДУ имеет вид положительными корнями, то соответствующая составляющая решения x(t ) = C1k e α1t + ... + C nk e α n t имеет вид экспоненциально нарастающих колебаний (колебательное нарушение устойчивости или самораскачивание). Паре комплексно сопряженных корней соответствуют два члена в Получение корней характеристического уравнения задача решении достаточно сложная, чем выше порядок системы уравнений, тем больше Ask e (α s + jω s )t + As +1, k e (α s − jω s )t = 2C sk e α s t sin(ω s t + ϕ sr ) . трудоемкость решения задачи отыскания корней характеристического Следовательно, значение корней характеристического уравнения не уравнения. Поэтому при исследовании устойчивости системы только указывает на устойчивость или неустойчивость системы, но и пользуются алгебраическими критериями устойчивости, которые устанавливает вид функций, составляющих переходный процесс. связаны с коэффициентами характеристического уравнения. Если все корни отрицательны, т.е. лежат в левой полуплоскости, то все составляющие по модулю экспоненциально затухают (или затухает Критерий Гурвица. амплитуда колебаний). (рисунок!) Критерий Гурвица определяет необходимые и достаточные условия устойчивости системы любого порядка. Из рассчитанных коэффициентов характеристического уравнения αi<0 строится матрица Гурвица порядка n. По следующим правилам: αi>0 1. в первой строке в порядке возрастания индекса пишутся коэффициенты только с четными номерами, порядок до n заполняется нулями; 2. во второй – с четными, начиная с 0; 3. 3 и 4 строки получаются сдвигом на 1 позицию вправо всех αi<0 значений коэффициентов; αi>0 4. 5 и 6 – еще сдвиг предыдущих строк на 1 позицию вправо. В диагонали должны быть соответствующие строке α i . α1 α 3 α 5 0 0 α0 α2 α4 0 0 Пример: n=5 0 α1 α 3 α 5 0 0 α0 α2 α4 0 0 0 α1 α 3 α 5 Для соблюдения устойчивости требуется, чтобы все коэффициенты α i были положительными, кроме того, все n диагональных миноров
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- …
- следующая ›
- последняя »