Применение ЭВМ в электроэнергетике: Текст лекций. Медведева С.Н. - 21 стр.

вне положения равновесия и обращаться в нуль в положении                    Введем обозначения A = P0 T j 4 B = EU (xT j ) .
равновесия.                                                                 Найдем функцию Ляпунова. Для электрической системы в
    Если удастся подобрать такую функцию V, что при любом               консервативной идеализации при выборе функции Ляпунова
движении системы она уменьшается, т.е. dV/dt<0, то система              используем энергетический подход. Функция Ляпунова запишем в виде
оказывается «устойчивой в большом».                                     первого интеграла движения синхронной машины, имеющего
    Примером функции Ляпунова может служить функция                     физический смысл полной энергии системы. Для этого разделим второе
                             V = x12 + x22 + x32 .                      уравнение на первое в исходной системе (1)
     В этом случае поверхность V=C в фазовом пространстве есть сфера        (dω dt ) (dδ dt ) = ( A − B sin δ)/ ω .
(рис.5). Поверхности, построенные для различных С не пересекаются,          Разделим переменные и проинтегрируем, получим
т.к. V- однозначная функция. Поэтому семейство представляет собой           0.5ω 2 − Aδ − B cos δ = C               (2)
вложенные друг в друга поверхности, причем поверхность с меньшим С          Выражение (2) характеризует полную энергию системы, состоящей
вложена внутрь поверхности с большим С.                                 из кинетической (первый член суммы) и потенциальной энергии
     Пусть в какой-либо момент изображающая точка М1 находится на       (остальные слагаемые). Траектории рассмотренной электрической
поверхности V≥C2; если при движении системы производная dV/dt<0, то     системы в фазовой плоскости [δ,ω] являются контурами рис.6.
с течением времени изображающая точка перемещается к поверхности
V=C2. Следовательно, фазовая траектория пронизывает вторую
поверхность, лежащую внутри первой.                                         Изменение полной энергии по времени запишем как
     Достаточное условие устойчивости «в большом»: если                     dC dt = (dC dω)⋅ (dω dt ) + (dC dδ )⋅ (dδ dt ) .
изображающая точка при движении пронизывает поверхности                     Используя (2) и (1), найдем
семейства в направлении снаружи внутрь и с течением времени                 dC dt = ω( A − C sin δ ) − Aω + Bωsin δ = 0      (3)
неограниченно приближается к точке равновесия, то система устойчива
                                                                            Следующий из(3) вывод о равенстве нулю изменения полной
в большом.
                                                                        энергии в контуре С означает, что системы переведенная в результате
     Условие dV/dt<0 не является необходимым, т.к. могут существовать
                                                                        возмущения из точки О в точку М, лежащую на траектории Сi, будет
фазовые траектории, идущие от внутренних поверхностей к внешним,
                                                                        совершать движение по этой траектории. Если траектория замкнутая, то
но направляющиеся к особой траектории, например, устойчивому
                                                                        система устойчивая.
предельному циклу.
                                                                            Функция (2) может быть функцией Ляпунова, поскольку
     Недостатки прямого метода Ляпунова: отсутствие общих приемов
                                                                        удовлетворяет требованиям к функциям этого класса:
отыскания функции Ляпунова и невозможность оценки, насколько
                                                                            1) V(δ,ω)>0 в некоторой области вокруг начала координат,
достаточные условия в большом уже необходимых условий
                                                                        совмещенного с устойчивым положением равновесия;
устойчивости.
                                                                            2) dV/dt<0 вовсем пространстве.
     Пример. Найти прямым методом Ляпунова условия устойчивости в
                                                                            Областью устойчивости системы (1) является часть окружающего
большом электрической системы, представленной схемой "станция-
                                                                        начало координат пространства, ограниченного самой большой
шины".
     Нелинейное дифф. уравнение движения синхронной машины,             замкнутой поверхностью С=Vгр, соответствующей граничному
соединенной с системой, в простейшей (консервативной) идеализации       значению функции Ляпунова. Эта функция проходит через особую
                              [ ( )]
    dδ dt = ω; dω dt = P0 T j − EU xT j sin δ             (1)           (седловую) точку, координаты которой необходимо определить.