Составители:
11
которая позволяет выразить все четные коэффициенты ряда (1.30) через
0
a
, а
все нечетные через
1
a
.
Однако задачу нельзя считать решенной, поскольку нас интересуют лишь
конечные решения уравнения (1.29).
А выражение (1.30) с коэффициентами
(1.33) представляет собой ряд, который, в общем случае этому требованию не
удовлетворяет.
И только в том частном случае, когда ряд «обрывается» на некотором
члене и содержит конечное число слагаемых, т.е. представляет собой
многочлен, условие ограниченности выражаемой им функции выполняется на
всем отрезке
11
≤≤− x
. Другими словами, искомое решение должно иметь вид
()
∑
=
=
l
k
k
kl
xaxP
0
. (1.34)
Это может иметь место, если какой-нибудь из коэффициентов ряда
обратится в нуль. Тогда и все последующие коэффициенты автоматически
станут нулевыми. Заметим, что при
0
≠
l
a
коэффициент
2
+
l
a
исчезает только
в том случае, если постоянная
λ
равна произведению двух последовательных
чисел
l
и
1
+
l
:
()
1
+=
ll
λ
. (1.35)
Поэтому формула (9.33) должна быть записана в виде
()()
()()
kk
a
kk
llkk
a
12
11
2
++
+−+
=
+
. (1.36)
Многочлены (1.34), у которых коэффициенты
0
a
или
1
a
выбраны так,
чтобы в точке
1
=
x
их значения были равны 1, принято называть
полиномами
Лежандра.
Вычислим несколько первых полиномов Лежандра. При
0
=
l
мы имеем
многочлен нулевой степени, которым является коэффициент
0
a
. Но чтобы
()
11
0
=
P
, нужно принять
1
0
=
a
. Итак,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- …
- следующая ›
- последняя »
