Атом водорода в квантовой механике. Мелехов А.П. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГУ им. Есенина | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

9
Последнее из этих уравнений называется уравнением Лежандра. К его решению
мы вернемся чуть позже, а пока, напомним, как решается уравнение (1.19). Для
этого составим и решим характеристическое уравнение
imkmk ±==+ ,0
22
. (1.21)
Поскольку корни характеристического уравнения комплексны, то решение
уравнения (1.19) можно записать в виде
()
…,3,2,1,0,
±±±==Φ me
imϕ
ϕ
(1.22)
Число
m
называется
магнитным квантовым числом
.
Теперь приступим к решению уравнения Лежандра. Прежде всего,
преобразуем это уравнение, вводя новую переменную
θ
cos
=
x
, (1.23)
а функцию
()
θ
Θ
обозначим как
()
xP
:
() ()
xP
=Θ
θ
. (1.24)
Тогда очевидно, что
xd
Pd
d
xd
xd
Pd
d
d
θ
θθ
sin
−==
Θ
. (1.25)
Откуда также следует
xd
d
d
d
−=
θθsin
1
. (1.26)
С учетом этих обозначений уравнение Лежандра (1.20) принимает вид
()
0
1
1
2
2
2
=
−
−+−
P
x
m
xd
Pd
x
xd
d
λ
. (1.27)
Заметим, что поскольку величина
πθ≤≤0
, то решение уравнения (1.27)
ищется на отрезке
11 ≤≤−
x
.
Рассмотрим сначала частный случай этого уравнения (при
0=
m
). Имеем
()
01
2
=+−
P
xd
Pd
x
xd
d
λ
. (1.28)

Страницы