Атом водорода в квантовой механике. Мелехов А.П. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГУ им. Есенина | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

13
Полиномы Лежандра обладают очень важным свойством. Они образуют
полную и ортогональную систему функций. Соотношения ортогональности
выражаются формулой
() ()
=
+
≠
=⋅
∫
−
.,
12
2
,,0
1
1
nk
n
nk
xdxPxP
kn
(1.38)
Опуская излишние подробности, укажем, что решениями уравнения
Лежандра (1.27) являются, так называемые,
присоединенные функции
Лежандра
()
xP
m
l
, определяемые формулой:
()
()
()
xP
xd
d
xxP
l
m
m
m
m
l
2
2
1
−=
. (1.39)
Обратим внимание на то, что при
lm >
имеет место тождество
()
0
≡
xP
m
l
.
Поэтому каждому значению
l
соответствует
1
+l
присоединенных полиномов
Лежандра
()
.,,2,1,0
,
lm
xP
m
l
…
=
Присоединенные полиномы Лежандра
()
xP
m
l
так же как
()
xP
l
образуют
полную и ортогональную систему функций на отрезке
[]
1,1
−
.
Теперь можно записать решение уравнения (1.16). Вспоминая формулу
(1.11) находим
() ()
.,,2,1,0
,cos,
lm
mlePY
im
m
l
m
l
±±±=
≥=
…
ϕ
θϕθ
. (1.40)
Функции (1.40) называют
сферическими функциями.
Важны два
обстоятельства: во-первых, сферические функции являются собственными
функциями операторы Лежандра, а, следовательно, и собственными функциями
оператора квадрата момента импульса. Во-вторых, они образуют полную и
ортогональную систему функций на сфере. Соотношения ортогональности
таковы

Страницы