Составители:
33
()
2
2
1
1
x
m
xd
d
x
xd
d
L
−
−−=
. (2.4)
Докажем соотношения ортогональности для
1=
m
.
()()
()
()
()
∫∫
−−
=
′
−−=
=−
=
=−=
1
1
2
2
1
1
211
1
1
1, xdxP
xd
dP
x
u
xd
dP
x
vdxd
xd
dP
xd
xd
dP
xd
dP
xPP
l
l
l
l
ll
kl
()()
[]
()
()
()
!1
!1
12
2
12
2
11
1
1
2
−
+
⋅
+
=
+
+=+=
∫
−
l
l
ll
llxdxPll
l
. (2.5)
Для других значений
m
доказательство проводится аналогично.
3. Соотношения ортогональности сферических функций
Определение. Сферическими функциями
()
ϕθ,
m
l
Y
называются функции,
являющиеся решениями дифференциального уравнения
()
m
l
m
l
YllY
1
+−=∆
θϕ
, (3.1)
Здесь
2
2
2
sin
1
sin
sin
1
ϕθ
θ
θ
θθ
θϕ
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=∆
. (3.2)
Это, так называемая угловая часть оператора Лапласа. Сферические функции
обычно представляют в виде
() ()
mlePY
im
m
l
m
l
≥⋅=
,cos,
ϕ
θϕθ
. (3.3)
Теорема. Сферические функции образуют ортогональную систему
функций на сфере, причем
() ()
()
()
∫∫
==
−
+
⋅
+
≠≠
==
∗
ππ
π
ϕθθ
0
2
0
.,
!
!
12
4
,,0
sin,
lnиmkесли
ml
ml
l
lnилиmkесли
ddYYYY
k
l
m
n
k
l
m
n
(*)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- …
- следующая ›
- последняя »
