Составители:
42
8. Соотношения ортогональности обобщенных функций Лагерра
Итак, обобщенные функции Лагерра вычисляются по формуле
()
()
xm
m
m
x
m
ex
xd
d
xe
m
xL
−+−
⋅=
ααα
!
1
. (8.1)
Теорема. Функции
()
xLxe
n
x
α
α
22
−
образуют ортогональную систему
функций на полуоси
[
)
∞,0
. При этом
() ()
()
=
++Γ
≠
=
∫
∞
−
.,
!
1
,,0
0
mn
n
n
mn
xdxLxLxe
mn
x
α
ααα
(8.2)
Докажем, что при
mn
>
()
.0
0
=
∫
∞
−
xdxLxxe
n
mx
αα
(8.3)
Имеем
()
()
()
()
∫∫
∞
+−
∞
+−−+−
=
00
!
1
!
1
xdxex
n
xdxexexe
n
n
nxm
n
nxxmx
αααα
. (8.4)
Далее интегрируя по частям, получаем
[]
()
[]
()
[]
()
()
()
∫
∞
−
+−
−
+−
−
+−
+−
−
∞
=
=
=⋅
=
=
=
0
1
1
1
0
!
1
,
,
!
1
n
nxm
n
nx
m
n
nx
m
n
nxm
xex
n
vxe
udxdxm
vdxdxe
ux
xdxex
n
α
α
α
α
()
()
()
()
()
=−=⋅−
∫∫
∞
−
+−
∞
−
+−−
00
1
1
!
!
1
!
xdxe
n
m
xdxex
n
m
mn
nx
m
n
nxm
αα
…
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- …
- следующая ›
- последняя »
