Двоичные динамические системы дискретной автоматики. Мельников А.А - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

91
Доказательство утверждения, как и выше, использует рекуррент-
ную модель (1.186) ЛДДС, в которой следует положить
I
A
= так, что
(1.186) принимает вид
()
(
)
(
)
(
)
(
)
kx;kxkxkx1kx
∀
=
=
=+ IA
. ■
Выделим теперь класс матриц состояния ЛДДС (1.186), (1.187),
при которых двоичная система обладает неподвижным состоянием
()
0kx ≠
, отличным от нуля.
Утверждение 1.36 (У1.36). Если состояние
(
)
kx
является собст-
венным вектором
ξ
матрицы
A
, соответствующим ее собственному
значению равному единице
(
)
1
=
λ
, то состояние
(
)
ξ
=
kx
(1.189)
является неподвижным. □
Доказательство утверждения использует рекуррентную модель
ЛДДС (1.186) и определение собственного вектора
ξ
матрицы
ξ
ξ
=
A
. (1.190)
Для собственного значения 1
=
λ
соотношение (1.190) принимает вид
ξ
ξ
=
A
. (1.191)
Если
()
kx
выбран в форме (1.189), тогда используя (1.186) полу-
чим цепочку равенств
()
(
)
(
)
kxkx1kx
=
=
=
=
+
ξ
ξ
AA
. ■ (1.192)
Выделим класс матриц состояния ЛДДС, которые не порождают
ненулевые неподвижные состояния
(
)
0kx
≠
. Очевидно, что в этот
класс входят все
()
nn × -матрицы
A
, обладающие индексом
ν
нильпо-
тентности, удовлетворяющим неравенствам
n1
≤
≤
ν
. (1.193)
Это вызвано тем, что нильпотентная
(
)
nn
×
-матрица
A
с индексом
нильпотентности (1.193) имеет все
n собственных значений, равных
нулю
()
0=
λ
, что делает невозможным переход от (1.190) к (1.191).
В этот класс также входит
(
)
nn
×
-матрица
A
, принадлежащая
максимальному показателю
12
n
−=
µ
, что имеет место, когда характе-
ристический полином матрицы
A
(
)
(
)
AI
+
=
λ
λ
detD представляет со-
бой неприводимый полином степени
n (
(
)
nD
=
λ
deg ). В этом случае
матрица
A
не имеет собственных значений в простом двоичном поле
Галуа
() { }
1,02GF =
, как следствие матрица
A
не имеет собственных
векторов, в силу чего не выполняется соотношение (1.191). Таким об-
разом неподвижным ненулевым состоянием обладает ЛДДС,
()
nn × -
матрица
A
состояния которая принадлежит показателю
µ
, удовлетво-
ряющему неравенствам

Страницы