Составители:
92
12n
n
−<≤
µ
. (1.194)
Рассмотрим теперь структуру неподвижных состояний для случая
отличной от нуля экзогенной последовательности на входе ЛДДС так,
что выполняются соотношения
()
(
)
k,1ku;0ku
∀
=
≠
. (1.195)
Утверждение 1.37 (У1.37). Нулевое состояние
(
)
0kx ≡
не принад-
лежит множеству неподвижных состояний ЛДДС при ненулевой эк-
зогенной последовательности, удовлетворяющей условиям (1.195). □
Доказательство утверждения строится на подстановке
()
0kx ≡
и
(1.195) в модель (1.183) ЛДДС, что приводит к соотношению
(
)
(
)
ku1kx B
=
+
. (1.196)
В случае если
()
1ndim
×
=B
и
OB
≠
соотношение
(
)
(
)
kx1kx
=
=
+
O
при
()
1ku =
не выполняется. ■
Утверждение 1.38 (У1.38). Ненулевое неподвижное состояние
ЛДДС (1.183) вычисляется в силу соотношения
(
)
(
)
BAI
1
kx
−
+=
. □ (1.197)
Доказательство утверждения строится на непосредственном вы-
числении неподвижного состояния, опирающегося на его определение
(1.185), и соотношение (1.183) с учетом (1.195), из которых получаем
(
)
(
)
BA
+
=
kxkx
,
что записывается в форме
(
)
(
)
BAI
=
+
kx
, (1.198)
приводящей к выражению (1.197), если матрица
(
)
AI
+
обратима. ■
Выделим случай, когда матрица
(
)
AI
+
не является обратимой.
С этой целью воспользуемся свойством спектра собственных значений
матричной функции от матрицы. В соответствии с этим свойством
спектр
{}
=+ AI
σ
{
}
n,1i;
~
i
=
λ
состоит из элементов
n,1i,1
~
ii
=+=
λλ
, (1.199)
где
i
λ
– элемент алгебраического спектра
{}
(
)
{
}
n,1i;0det:
i
==+= AIA
λλσ
собственных значений матрицы
A
. В силу соотношения (1.199) матри-
ца
()
AI +
является обратимой, а следовательно линейная ДДС (1.183),
(1.184) имеет при
()
1ku =
неподвижное состояние, определяемое в си-
лу (1.198), если матрица
A
является нильпотентной с любым индексом
ν
нильпотентности или если матрица
A
имеет своим характеристиче-
ским полиномом любой неприводимый полином степени
n , принадле-
жащий показателю
µ
, удовлетворяющему условию (1.194).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- …
- следующая ›
- последняя »
