Двоичные динамические системы дискретной автоматики. Мельников А.А - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

94
собственных значений и геометрическим спектром
{()
}
f
f:
ξξξ
=
λλ
A
. Тогда геометрический спектр
{
}
r,1;
f
=λ
λ
ξ
соб-
ственных векторов
()
Af включает в себя геометрический спектр
{
}
A
n,1j;
j
=
ξ
собственных векторов матрицы
A
, при этом они мо-
гут не совпадать так, что выполняется соотношение
{
}
{
}
r,1j;r,1;
jff
=⊃=
ξξ
λ
λ
(1.201)
rr
f
≥ . □ (1.202)
Доказательство. Очевидно сформулированное утверждение спра-
ведливо для матрицы
A
, не являющейся нильпотентной матрицей лю-
бого значения индекса
ν
нильпотентности, которая обладает алгебраи-
ческим спектром собственных значений, составленным из нулей так,
что
{}
{
}
n,1i;0
i
===
λσ
A , а также для матрицы
A
, имеющей своим
характеристическим полиномом
(
)
(
)
AI
λ
λ
detD неприводимый по-
лином степени
n , который не имеет корней в простом поле Галуа
()
2GF так, что
{}
(
){}
2GF
i
∉
=
λ
σ
A . Таким образом утверждение
имеет дело со случаем, когда характеристический полином матрицы
A
разложим в произведение двучленов
() ( )
()
∏
=
+=+=
n
1j
j
detD
λλλλ
AI
(1.203)
и который характеризуется кратными единичными собственными зна-
чениями
(
)
n,1j1
j
==
λ
. Известно [13], что число
A
r различных собст-
венных векторов
j
ξ
матрицы
A
, имеющей кратные корни, меньше
x
dimn = и определяется из соотношения
(){}
(
)
{
}
()
AIAIAI +−=+−=+= ranknJdimnKerdimr
jA
m
λλ
(1.204)
В свою очередь число
f
r собственных векторов
λf
ξ
матричной функ-
ции
()
Af от матрицы
A
определяется из соотношения
()
(){}
=+= AI fKerdimr
ff λ
λ
()
(){}
()()
AIAI franknfJdimn
f
m +−=+−=
λ
λ
(1.205)
Причем так как по свойству спектра собственных значений матричной
функции
()
Af от матрицы A оказывается справедливым соотношение
(
)
n,1,j:f
jf
==λ
λ
λλ
, (1.206)
то с учетом степенного характера
(
)
q
f AA =
спектр кратных единич-
ных значений матрицы
A
{
}
n,1j:1
j
==
λ
сохраняется и для матрич-
ной функции
(
)
Af
{
}
n,1:1
2
f
===λ
λλ
λλ
. Если к этому добавить, что

Страницы