Уравнения математической физики. Меньших О.Ф. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

1 ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
Рассмотрим уравнение с двумя независимыми переменными
2 ( , , , , ),
x
xxyyy x
Au Bu Cu Ф xyuu u++=
y
(3)
где А, В, С являются функциями х и у, а искомая функция
дважды не-
прерывно дифференцируема.
(, )ux y
Пусть преобразование
(, ),
(, )
x
y
x
y
α
ϕ
βψ
=
=
(4)
имеет обратное и функции
ϕ
и
ψ
дважды непрерывно дифференцируемы.
Тогда после перехода к переменным
,
α
β
получается уравнение, эквивалент-
ное исходному уравнению (3).
Приравнивая нулю коэффициент при
u
α
в новом уравнении, получим
уравнение с частными производными первого порядка
22
20
xxyy
AB C
αααα
++=
2
=
2
.
Его решение можно отыскать, рассмотрев уравнение
2
() 2 () 0A dy Bdxdy C dx−+
. (5)
Оно называется характеристическим для уравнения (3) или уравнением ха-
рактеристик. Пусть
1
(, ) , (, )
x
yC xyC
ϕ
ψ
=
=
(6)
есть общие интегралы уравнения (5) (здесь
12
, CC
−
постоянные). Соотно-
шения (6) называются характеристиками уравнения (3). Если принять
(, ), (, )
x
yxy
α
ϕβψ
==, то в уравнении, получившемся из (3) после замены
переменных (4), коэффициенты при
u
α
и u
β
β
обратятся в ноль.
Уравнение (5) распадается на два:
2
dy B B AC
dx A
+−
=
(7)
и
10

Страницы