Уравнения математической физики. Меньших О.Ф. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

2 КРАЕВАЯ ЗАДАЧА НА ОТРЕЗКЕ
2.1 Задача Штурма-Лиувилля
Одним из основных методов решения уравнений математической физики
является метод Фурье (метод разделения переменных). Задача Штурма-
Лиувилля – важный этап этого метода. Она формулируется следующим обра-
зом.
Дано уравнение
'' ( ) ' 0yqxy y
λ
−+=
. (14)
Требуется найти его решение
, удовлетворяющее краевым условиям
()yx
12
() '() 0,ya y a
α
α
+
=
12
() '() 0yb y b
β
β
+
=
.
Здесь
[, ]
x
ab∈
, непрерывная на этом отрезке функция;
()qx
−
121
, , ,
2
α
αββ
параметры, , .
−
22
12
0
αα
+≠
22
12
0
ββ
+≠
Значения параметра
λ
, при которых существуют ненулевые решения
уравнения (14), удовлетворяющие указанным условиям, называются собст-
венными числами или собственными значениями, а соответствующие им ре-
шения – собственными функциями краевой задачи.
3
. Дано дифференциальное уравнение. В указанной области найти его
решения
, отличные от тождественного нуля и удовлетворяющие за-
данным краевым условиям:
()yyx=
0, yy
λ
′
+
=
(15)
5
22
x
π
π
≤≤
,
5
0
22
yy
ππ
⎛⎞ ⎛ ⎞
′
=
=
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
. (16)
Решение.
Рассмотрим отдельно три случая.
1)
0
λ
<
.
Пусть
2
λ
ω
=−
. Тогда уравнение (15) имеет общее решение
18

Страницы