Уравнения математической физики. Меньших О.Ф. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Ответ:
15
sin
42 2
n
yx
π
⎡⎤
⎛⎞⎛ ⎞
⎟
⎠
=+−
⎜⎟⎜
⎢⎥
⎝⎠⎝
⎣⎦
0, 1, 2, ...n
,
=
2.2 Первая смешанная задача для волнового уравнения
Рассмотрим уравнение
2
tt xx
uau=
, (20)
0, 0
x
lt≤≤ ≤<T
при граничных условиях
(0, ) 0, ( , ) 0ut ult
=
=
(21)
и начальных условиях
(, 0) (), (, 0) ()
t
ux f x u x hx==
. (22)
Здесь Т
постоянная.
−
К такой задаче приводит описание свободных колебаний струны, закреп-
ленной на концах. Для ее решения применим метод Фурье (метод разделения
переменных).
Будем искать ненулевые решения уравнения (20), удовлетворяющие гра-
ничным условиям (21), в виде
(, ) () ()ux t X xTt
=
.
Подставляя это выражение в уравнение (20), получим соотношение
2
( ) ''( ) ''( ) ( )XxT t aX xTt=
,
или
2
''( ) ''( )
()
()
Tt X x
Xx
aTt
=
. (23)
Так как левая часть уравнения (23) является функцией одной независимой
переменной, а правая – другой, то обе эти части равны некоторой постоянной.
Обозначая ее (
λ
−
), получим два уравнения
2
''() () 0Tt a Tt
λ
+
=
, (24)
''() () 0Xx Xx
λ
=
. (25)
Из соотношений (21) следует, что должны выполняться условия
22

Страницы