Уравнения математической физики. Меньших О.Ф. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

4.
Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения на отрезке:
1
,
9
tt xx
uu=
02, 0 ,
x
tT
≤
≤≤<
(
)
(
)
(
)
, 0 2 , , 0 0,
t
ux xx u x
=
−=
(
)
(
)
0, 0, 2, 0.ut ut
=
=
Решение.
Имеем частный случай соотношений (20) – (22). В данной задаче
1
3
a
=
,
, .
2l =
() ( ) ()
2, 0fx xx hx=− =
Решение (27) принимает вид
()
1
11
, cos sin sin
23 23 2
nn
n
nn
uxt A t B t x
ππ
∞
=
⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞⎛
=+
⎜⎟ ⎜⎟⎜
⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠⎝
⎝⎠
∑
n
π
⎞
⎟
⎠
,
где коэффициенты
n
A
и соответственно равны:
n
B
()
2
0
sin
2
n
n
fx xdx
π
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
∫
, (29)
()
2
0
6
sin
2
n
n
B
hx xdx
n
π
π
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
∫
. (30)
Так как
()
0hx
=
, то из формулы (30) следует, что
0
n
B
=
.
По формуле (29) найдем
n
A
:
()
2
0
2sin
2
n
n
A
xx xdx
π
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
∫
.
Дважды интегрируя по частям, получим
()
()
(
)
3
16
11
n
n
A
n
π
=−−=
()
3
0, 2 ,
32
, 2 1.
nk
nk
n
π
=
−
=+
=
Здесь
k
0, 1, 2, ...
25

Страницы