Уравнения математической физики. Меньших О.Ф. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

3 КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
3.1 Первая смешанная задача для уравнения теплопроводности
Пусть требуется найти функцию
, удовлетворяющую уравнению
теплопроводности
(, )ux y
22
2
22
uu
a
t
u
x
y
⎛⎞
∂∂∂
=+
⎜
⎜
∂
∂∂
⎝⎠
⎟
⎟
, (34)
12
0, 0 , 0
x
lylt<< << <<T
при граничных условиях
1
(0, , ) ( , , ) 0uytulyt
=
=
, (35)
2
( , 0, ) ( , , ) 0ux t ux l t
=
=
(36)
и начальном условии
(, , 0) (, )ux y f x y
=
. (37)
Здесь Т
постоянная.
−
Запишем уравнение (34) в форме
2
u
au
t
∂
=
∆
∂
. (38)
Здесь
22
22
x
y
∂
∂
∆= +
∂
.
Будем искать ненулевые решения уравнения (38), удовлетворяющие гра-
ничным условиям (35) – (36), в виде
() ( , )uTtFxy
=
, (39)
где функция
удовлетворяет условиям
(, )Fxy
1
(0, ) ( , ) ( , 0) ( , ) 0FyFlyFx Fxl===
2
=
. (40)
Подставляя произведение (39) в уравнение (38), получим равенство
2
' TF aT F
=
∆
,
или
2
2
'TF
F
aT
λ
∆
=
=−
,
30

Страницы