Уравнения математической физики. Меньших О.Ф. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Здесь
и
0 rR≤≤
R
−
постоянная.
К этой задаче приводит описание колебаний круглой мембраны.
Введем полярные координаты с помощью соотношений
cos ,
sin .
xr
yr
ϕ
ϕ
=
⎧
⎨
=
⎩
Так как функции, задающие начальные и граничные условия, не зависят от
полярного угла
ϕ
, целесообразно искать решение, не зависящее от этого
угла. Тогда волновое уравнение приобретает вид
2
1
tt rr r
uau u
r
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠
.
Решение поставленной задачи получено методом разделения переменных
(методом Фурье) и записывается в виде ряда
()
0
1
, cos sin
kk
kk
k
ur t A at B at J r
RR
µµ
∞
=
⎡⎤
⎛⎞ ⎛⎞⎛
=+
⎜⎟ ⎜⎟⎜
⎢⎥
⎝⎠ ⎝⎠⎝
⎣⎦
∑
k
R
µ
⎞
⎟
⎠
, (85)
где
0
k
J
r
R
µ
⎛
⎜
⎝⎠
⎞
⎟
– значения функции Бесселя первого рода, нулевого порядка,
k
µ
– нули функции , а коэффициенты
0
()Jx ,
kk
A
B
определяются по форму-
лам
()
()
()
1
0
2
1
0
2
kk
k
A
xJ x f Rx dx
J
µ
µ
=
∫
, (86)
()
()
()
1
0
2
1
0
2
kk
k
k
R
xJ x h Rx dx
a
J
µ
µ
µ
=
∫
(87)
[14, гл. III, § 14, п. 7]. Здесь
1
()
k
J
µ
−
значение функции Бесселя первого ро-
да, первого порядка.
Следует иметь в виду, что формулы (86) – (87) получены из соотношений,
приведенных в книге [14], с помощью замены переменной
r
x
R
=
.
11
. Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения в круге
53

Страницы