Уравнения математической физики. Меньших О.Ф. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

ВВЕДЕНИЕ
Уравнениями математической физики называются уравнения, описываю-
щие математические модели физических явлений. Среди них процессы, изу-
чаемые в теории упругости, гидродинамике, электродинамике, квантовой фи-
зике и т. д. Во многих случаях их изучение приводит к уравнениям с частны-
ми производными второго порядка.
Дифференциальным уравнением с частными производными (в
частных
производных) называется уравнение, связывающее функцию
, независимые переменные
12
( , , ... , )
n
ux x x
12
, , ... ,
n
x
xx
и частные производ-
ные от функции
, то есть соотношение
12
( , , ... , )
n
ux x x
1
12
1
1
, , ... , , , ... , , ... , 0
...
n
k
n
k
k
n
n
uu u
Fx x x
xx
xx
⎛⎞
∂∂ ∂
⎜⎟
=
⎜⎟
∂∂
∂∂
⎝⎠
, (1)
где
F
−
известная функция и .
1
...
n
kk k=++
При этом предполагается, что в области, где рассматривается данное урав-
нение, функция
имеет частные производные порядка .
12
( , , ... , )
n
ux x x
k
Порядок старшей из частных производных, входящих в уравнение (1), на-
зывается порядком этого уравнения. Например, уравнение второго порядка
для функции, имеющей непрерывные частные производные второго порядка,
в общем случае может быть записано в виде
222
12
22
12 12
12
, , , , , , 0
uu u u u
Fx x
xx xx
xx
⎛⎞
∂∂∂ ∂ ∂
=
⎜⎟
⎜⎟
∂∂ ∂∂
∂∂
⎝⎠
.
Уравнение (1) называется квазилинейным, если это уравнение линейно
относительно старших производных функции
. Оно называ-
ется линейным, если данное уравнение линейно относительно этой функции
и ее производных.
12
( , , ... , )
n
ux x x
Решением уравнения (1) называется всякая функция
, ко-
торая, будучи подставлена в указанное уравнение, обращает его в тождество
по всем переменным.
12
( , , ... , )
n
ux x x
Для полного описания физических процессов помимо уравнений необхо-
димо указать некоторые дополнительные условия. В частности, может быть
задана картина процесса в фиксированный момент времени, т.е. начальные
условия. Кроме того, задают значения изучаемых величин на границе
рас-
сматриваемой области – граничные (или краевые) условия. Дифференциаль-
6

Страницы