Уравнения математической физики. Меньших О.Ф. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

6 ЗАДАЧА КОШИ
6.1 Уравнение теплопроводности
Пусть требуется найти ограниченное решение одномерного уравнения те-
плопроводности
2
t
uau=
xx
, (98)
, 0
x
tT−∞ < < +∞ < <
при начальном условии
(
)
0
t
uf
=
x
=
. (99)
Здесь Т
постоянная, а функция
−
()
f
x
удовлетворяет соотношению
() fx dx
+∞
−∞
<
∞
∫
.
Будем искать частные решения уравнения (98) в виде
(, ) () ()ux t Tt X x
=
. (100)
Подставляя (100) в (98), получим соотношение
2
'( ) ( ) ( ) ''( )TtXx aTtX x=
,
или
2
2
'( ) ''( )
()
()
Tt X x
Xx
aTt
λ
=−
, (101)
где
λ
постоянная.
−
Следовательно, функции
и должны удовлетворять уравнениям
()Tt ()Xx
22
'( ) ( ) 0Tt aTt
λ
+
=
, (102)
2
''( ) ( ) 0Xx Xx
λ
+
=
.
Эти уравнения соответственно имеют решения:
22
()
at
Tt Ce
λ
−
=
, (103)
() cos sinXx A x B x
λ
λ
=+
,
60

Страницы