Уравнения математической физики. Меньших О.Ф. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

где
, ,
A
BC
−
постоянные.
Если в правой части соотношения (101) и соответственно в решении (103)
изменить знак перед
2
λ
, то это решение будет неограниченным. Именно по-
этому отношения (101) с самого начала считались неположительными.
Так как граничные условия отсутствуют, то параметр
λ
может принимать
любые действительные значения. Поэтому вместо обычного ряда составим
интеграл
22
(, ) ( ()cos ()sin )
at
ux y e A x B xd
λ
λ
λλλ
+∞
−
−∞
=+
∫
λ
. (104)
Подстановка функции (104) непосредственно в уравнение (98) показывает,
что при достаточно «хороших» свойствах коэффициентов
()
A
λ
,
()
B
λ
указан-
ная функция является решением данного уравнения.
Согласно начальным условиям должно выполняться равенство
() ( ()cos ()sin )
f
xA xB xd
λλλλ
+
∞
−∞
=+
∫
. (105)
Запишем формулу Фурье для функции
()
f
x
:
1
() ()cos ( )
2
f
xdfssx
λλ
π
+∞ +∞
−∞ −∞
=−
∫∫
ds=
1
(cos ()cos sin ()sin )
2
x
fs sds x fs sdsd
λ
λλ λ
π
λ
+
∞+∞ +∞
−∞ −∞ −∞
=+
∫∫ ∫
.
Отсюда следует, что условие (105) будет выполнено, если принять
1
( ) ( )cos
2
A
fs sds
λ
π
+∞
−∞
=
∫
λ
, (106)
1
() ()sin
2
B
fs sds
λ
π
λ
+
∞
−∞
=
∫
. (107)
Соотношения (104), (106) и (107) в совокупности представляют собой ре-
шение задачи (98) – (99). Ему может быть придана более удобная форма. Если
подставить выражения (106) – (107) в равенство (104), получится решение в
виде одной формулы, содержащей двойной интеграл. Если затем изменить
61

Страницы