Уравнения математической физики. Меньших О.Ф. - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

6.2 Волновое уравнение на плоскости
Пусть требуется найти функцию
(
)
, , uxyt, удовлетворяющую уравнению
(
)
2
tt xx
yy
uau u=+,
x
−∞ < < +∞
,
y
−
∞< <+∞
, 0 tT
<
<
и начальным условиям
(
)
(
)
0
0
, , ,
t
t
t
u f xy u Fxy
=
=
=
=
.
Здесь Т
постоянная. −
Решение этой задачи выражается формулой Пуассона
()
()
()()
22
22
,
1
, ,
2
D
fdd
uxyt
at
at x y
ξη ξ η
π
ξη
⎡
∂
⎢
=+
⎢
∂
−− −−
⎢
⎣
∫∫
()
()()
22
22
,
D
Fdd
at x y
ξη ξ η
ξη
⎤
+
−− −−
⎦
∫∫
, (112)
где
– круг радиуса с центром в точке
D
at
(
)
,
x
y [14, гл. III, § 11, п. 2].
Следует иметь в виду, что для волнового уравнения обычно используется
иной принцип доказательства соотношений, которые называют формулами
Пуассона, нежели тот, который приведен в главе 6.1.
При решении задачи Коши с помощью формулы (112) во многих случаях
целесообразно применять обобщенные полярные координаты (
,
ξ
η
), задан-
ные соотношениями
cos ,
sin .
x
y
ξ
ρϕ
η
ρϕ
=+
⎧
⎨
=+
⎩
(113)
14. Используя формулу Пуассона, найти решение задачи Коши для вол-
нового уравнения на плоскости:
(
)
2
tt xx
yy
uau u=+, (114)
x
−∞ < < +∞
,
y
−
∞< <+∞
, 0 tT
<
< ,
65

Страницы