Уравнения математической физики. Меньших О.Ф. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

()
2
3
22
2
22 2
00
3cos 2sin
at
Sd
at
d
π
ρ
ϕ
ϕϕ ρ
ρ
=+
−
∫∫
сделаем замену
sinat
ρ
β
=
.
Получим
()
2
2
33 3
2
2
00
sin
cos 2 cos
cos
at
Sdat
at
d
π
π
β
ϕ
ϕβ
β
=+
∫∫
β
=
2
2
33 3
00
1cos2
2sin
2
at d d
π
π
ϕ
ϕ
ββ
+
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
.
.
Вычислим отдельно интеграл
22
3
2
32
00
0
cos 2
sin (1 cos ) cos cos
33
dd
π
π
π
β
ββ β β β
⎛⎞
=− − = − + =
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
.
.
Соответственно
33 33
2
1210
24
233
Sat at
ππ π
⎛⎞
=+=
⎜⎟
⎝⎠
.
Интеграл от последнего слагаемого упомянутого подынтегрального выра-
жения
()
2
2
3
22 2
00
6 cos 4 sin 0
at
Sx yd d
at
π
ρ
ϕϕϕ ρ
ρ
=+
−
∫∫
=
.
Таким образом, искомое решение имеет вид
()
)
22 33
123
11
, , ( ) 2 3 2 ,
22
uxyt S S S x y at at
at at
ππ
ππ
∂∂10
3
⎡
⎤
=++= ++
⎢
⎥
∂∂
⎣
⎦
то есть
222
(, , ) 3 2 5ux y t x y at=++
2
. (117)
Проверим, выполняются ли для решения (117) начальные условия (115).
Вычислим:
67

Страницы