Уравнения математической физики. Меньших О.Ф. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

22
0
0
32,
t
t
t
uxyu
=
=
=+ =0.
(115)
Решение.
Применим формулу Пуассона (112), полагая, что
(
)
(
)
22
, 3 2 , , 0fxy x y Fxy=+ =.
Тогда
()
(
)
22
22 2 2
32
1
, ,
2
()()
D
dd
uxyt
at
at x y
ξηξη
π
ξ
η
+
∂
=
∂
−− −−
∫∫
. (116)
Используем обобщенные полярные координаты (113). Равенство (116) при-
мет вид
()
()()
2
22
22 2
00
3cos2sin
1
, ,
2
at
xy
uxyt d d
at
at
π
ρϕ ρϕ
ϕ
ρρ
π
ρ
+++
∂
=
∂
−
∫∫
,
или
u =
1
2 at
π
∂
∂
2
00
at
d
π
ϕ
⎡
⎢
⎢
⎣
∫∫
(
)
(
)
22 32 32
22 2
32 3cos 2sinxy
at
ρ
ρϕρ
ρ
⎛
++ +
⎜
⎜
⎜
−
⎝
ϕ
+
+
22
22 2
6cos4sinxy
d
at
ρϕ ρϕ
ρ
ρ
⎤
⎞
+
⎟
⎟
−
⎠
⎦
.
Будем считать подынтегральное выражение суммой трех слагаемых, и
проинтегрируем каждое из них. Интеграл от первого слагаемого
()
2
22
1
22 2
00
32
at
d
Sxyd
at
π
ρρ
ϕ
ρ
=+
−
∫∫
=
22 2
22
22 2
0
1( )
(3 2 ) 2
2
at
dat
xy
at
ρ
π
ρ
−
−
+⋅
−
∫
=
22222 22
0
2(3 2 ) 2(3 2 )
at
x
yat x ya
πρπ
=− + − = + t.
Во втором слагаемом
66

Страницы