Уравнения математической физики. Меньших О.Ф. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

22
0
(, , ) 3 2
t
ux y t x y
=
=+
,
()
2
, , 10
t
uxyt at= ,
(
)
0
, , 0.
t
t
uxyt
=
=
Таким образом, начальные условия удовлетворяются.
Убедимся, что решение (117) удовлетворяет двумерному волновому урав-
нению (114). Для этого найдем
6,
x
x
u
=
4,
yy
u
=
2
10 .
tt
ua=
Подставив все это в уравнение (114), получим тождество
(
)
22
10 6 4aa
=
+ .
Таким образом, найденное решение удовлетворяет волновому уравнению
(114), функция (117) является решением задачи Коши (114) – (115).
Ответ:
.
()
222
, , 3 2 5uxyt x y at=+ +
2
6.3 Волновое уравнение в пространстве
Пусть требуется найти функцию
(
, , , uxyzt, удовлетворяющую уравне-
нию
(
)
2
tt xx
yy
zz
uau u u=++,
, , , 0
x
yz t T−∞ < < +∞ < <
и начальным условиям
(
)
(
)
0
0
, , , , ,
t
t
t
ufxyzu Fxy
=
=
==z
.
Здесь Т
постоянная.
−
Решение этой задачи выражается формулой Пуассона
()
() ()
2
,, ,,
1
, , ,
4
at at
SS
fF
uxyzt d d
tt t
a
ξηζ ξηζ
σ
σ
π
⎡⎤
∂
⎢⎥
=+
⎢⎥
∂
⎣⎦
∫∫ ∫∫
, (118)
68

Страницы