ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Убедимся, что соотношение (140) действительно задает решение уравнения
(139). Выберем произвольную дифференцируемую функцию
f
, определим
равенством (140) и вычислим производные (, )ux t
'( ), '( )
uu
f
xt fxt
x
t
∂∂
=− =−−
∂∂
.
Складывая эти равенства, получим тождество вида (139). Следовательно, функ-
ция (140) удовлетворяет указанному уравнению. Она называется его общим ре-
шением.
Будем называть гладкими функции, имеющие производные достаточно
большого порядка, чтобы рассматриваемые соотношения были верными.
Пусть дано уравнение
0
uu
tx
∂
∂
+
=
∂∂
, (141)
, 0
x
t−∞ < < +∞ ≤ < +∞
и требуется найти его гладкое решение, удовлетворяющее начальному условию
0
(),
t
uxxX
ϕ
=
=
∈ , (142)
где
конечный или бесконечный промежуток , а
X
−
()
x
ϕ
−
гладкая функция. В
этом случае говорят, что поставлена задача Коши для уравнения (141).
Предположим, что
()ufxt
=
−
есть общее решение уравнения (141). Условие
0
()
t
ux
ϕ
=
=
выполняется, если
0
() ( ) ()
t
f
xfxt x
ϕ
=
=
−=.
Поэтому задача Коши (141) – (142) имеет решение
()uxt
ϕ
=
− .
Как отмечалось, на прямых
x
tC
=
+
83
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- …
- следующая ›
- последняя »
