Уравнения математической физики. Меньших О.Ф. - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Таким образом, задача (141) – (142) в случае
[
]
, Xab
=
имеет единственное
решение только в области, ограниченной отрезком
[
]
, ab оси и характери-
стиками
Ox
,
x
taxtb
=
+=+
.
Можно обобщить постановку задачи Коши, задавая начальное условие на
произвольной гладкой линии Г (рис. 2). Если эта линия пересекается с любой
характеристикой, принадлежащей некоторой области, не более одного раза, то в
этой области существует единственное решение поставленной таким образом
задачи Коши.
Рассмотрим теперь случай, когда начальные условия для уравнения (141) за-
даны
на отрезке
[]
, d, принадлежащем характеристc ике
0
x
tx
=
+
(рис. 2). Если при этом значения функции
( )ux t, определенные данными усло-
виями, различаются в каких-то точках отрезка
,
[
]
, cd, то решения нет, поскольку
ука быть постоянна на характеристике. занная функция должна
Пусть на этом отрезке
,
0
(, )ux t C
=
где
0
−
заданное число. Как отмечалось, при произвольной гладкой функции
C
()
f
x величина
()ufxt
−
ляется решяв ением уравнения (141). На характеристике
0
x
tx=+
функция
постоянна:
0) ( )ux t ux f x
(, )ux t
00
(, ) ( ,
=
=
.
C=
,
Поэтому условие
(, )ux t
0
(
)
[
]
, ,
x
tcd
∈
выполняется, если для функции
f
справедливо равенство
00
()
f
xC
=
.
В о
стальных точках оси
Ox функция ()
f
x произвольна.
Таким образом, задание начальных данных на хара еркт истике не определяет
единственного решения ни в какой области плоскости
x
Ot .
18. Найти функцию , удовлетворяющую уравнению
(, )ux t
0
uu
a
tx
∂
∂
+
=
∂∂
, (143)
где
оянная.
a
−
пост
85

Страницы