Уравнения математической физики. Меньших О.Ф. - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

функция
(решение уравнения (141)) постоянна. Указанные прямые на-
зываются характеристиками этого уравнения (рис. 2).
(, )ux t
О a b x
t
c
d
Г
1
b
1
a
0
x
1 2
Рис. 2. Характеристики:
1
−
2
−
−
x
tb
=
+
,
x
ta=+
Предположим, что начальные условия (142) заданы на отрезке
[
. Тогда
на характеристике, проходящей через некоторую точку
]
, ab
[
]
0
,
x
ab
∈
, искомая
функция
u в любой момент времени принимает одно и то же значение 0t ≥
00
(, ) ( , 0) ( )ux t ux x
=
=
.
Поэтому в области, ограниченной отрезком
[
]
, ab оси Ox и характеристиками
,
x
taxtb=+ =+
,
проходящими через его концы (рис. 2), решение уравнения (141) при условии
(142), где
, существует и единственно.
[
, Xab=
]
Выясним, существует ли единственное решение этой задачи в какой-то бо-
лее широкой области. Считая, что начальные условия заданы на отрезке
[]
,
доопределим функцию
, ab
()
x
ϕ
произвольным образом на отрезке
[
]
11
, ab, содер-
жащем
. Тогда некоторое конкретное решение можно получить и в облас-
ти, ограниченной отрезком
[
[
, ab
]
]
11
, ab и характеристиками
11
,
x
taxtb=+ =+
.
Однако полученная таким образом функция
уже не будет един-
ственным решением задачи (141) – (142) при
(, )
ux t
[
]
, Xab
=
, так как это решение за-
висит от способа доопределения функции
()
x
ϕ
.
84

Страницы