Философия Гегеля и математика. Мейдер В.А. - 33 стр.

                                 32
по Гегелю, содержали ошибки, страдали формализмом и неуверенностью.
Критикуя Ньютона /а вместе с ним и других математиков/ за формализм и
пренебрежение к бесконечно малым, выраженное в необоснованном их
отбрасывании, Гегель раскрывает диалектическую природу этих величин: “...
члены ряда должны рассматриваться здесь не только как части некоторой
суммы, но как качественные моменты некоторого понятия как целого.
Благодаря этому отбрасывание остальных членов, принадлежащих к дурному
бесконечному ряду, имеет смысл, совершенно отличный от отбрасывания
их на основании их относительной малости. Решение задачи, данное
Ньютоном, оказалось ошибочным не потому, что в нем не принимаются во
внимание члены ряда лишь как части некоторой суммы, а потому что не
принимается во внимание член, содержащий качественное определение,
которое здесь важнее всего” (5. С.348-349).
      Для     уяснения     этой    мысли      Гегеля,    рассмотрим      нахождение
дифференциала функции у=х3 некоторыми учеными. Имеем dy = y1 – y =
(x+dx)3 – x3 = x3 + 3x2 · dx + 3x · (dx)2 + (dx)3 – x3 = 3x2 · dx + 3x · (dx)2 + (dx)3.
Пренебрегая, вследствие их малости, двумя последними слагаемыми,
получим dу = 3x2 · dx, т.е. дифференциал функции у = х3.
      Гегель прав, когда отмечает, что в области математического анализа,
ввиду “туманного понятия бесконечно малого”, те или иные доказательства
принимались потому, что всегда заранее было известно, что должно
получиться. Это создавало “видимость остова доказательства... Но я не
колеблясь скажу, - пишет он, - что рассматриваю эту манеру просто как
фокусничество и жонглирование доказательствами и причисляю к такого
рода фокусничанию даже Ньютоновы доказательства...” (там же. С.358). Но
вместе с этим он признает, что при всей противоречивости своих операций
сама математика показывает, что те результаты, которые он получает с
помощью методов дифференциального исчисления, “ вполне совпадают с
теми, которые она получает с помощью собственно математического метода,